Eléments cinétiques

1.1.2.2. Eléments cinétiques#

1.1.2.2.1. Quantité de mouvement#

Important

Quantité de mouvement d’un point matériel

Soit M un point matériel de masse inertielle m. On définit la quantité de mouvement d’un point M dans le référentiel R par la grandeur:

\vec{p_{M / R}} = m \vec{v_{M / R}}

1.1.2.2.2. Moment cinétique d’un point matériel#

1.1.2.2.2.1. Moment cinétique: Définition#

Important

Moment cinétique par rapport à un point.

Soit un point M de masse m, de vitesse $\vec{v_{M / R}}$ , de quantité de mouvement $\vec{p_{M / R}}$ rapport au référentiel R et A un point. Le moment cinétique d’un point M par rapport à un point A dans le référentiel R est défini par le vecteur:

\vec{L_{A / R} (M)} = \vec{A M} \land \vec{p_{M / R}}

Important

Moment cinétique par rapport à un axe.

Soit un axe $Δ$ orienté. On note B un point de cet axe et $\vec{u_{Δ}}$ un vecteur unitaire directeur de l’axe. On définit un moment cinétique rapport à l’axe $Δ$ :

L_{Δ / R} = \vec{u_{Δ}} \cdot \vec{L_{B / R}} (M)

Attention

Scalaire et vecteur

Le moment cinétique par rapport à un point est un vecteur et le moment cinétique par rapport à un axe est un scalaire. Il est important de faire cette différence.

1.1.2.2.2.2. Moment cinétique: Interprétation (en ligne)#

Interprétation du moment cinétique par rapport à un axe

Dans toute la suite on travaillera implicitement dans un référentiel $R$ .

Pour interprêter le moment cinétique par rapport à un axe orienté $Δ$ , on va se placer dans un repère cylindrique d’axe $Δ$ centré en un point O de l’axe.

On peut donc écrire:

$\begin{array}{r} \vec{O M} = r \vec{e_{r}} + z \vec{e_{z}} \\ \vec{v_{M / R}} = \dot{r} \vec{e_{r}} + r \dot{θ} \vec{e_{θ}} + \dot{z} \vec{e_{z}} \end{array}$

On peut donc calculer le moment cinétique de M sur $Δ$ dans $R$ :

$\begin{aligned} L_{Δ / R} & = \vec{u_{Δ}} \cdot \vec{L_{O / R}} (M) \\ = m \vec{e_{z}} \cdot ((r \vec{e_{r}} + z \vec{e_{z}}) \land (\dot{r} \vec{e_{r}} + r \dot{θ} \vec{e_{θ}} + \dot{z} \vec{e_{z}})) \\ = m r^{2} \dot{θ} \end{aligned}$

On observe que:

Le moment cinétique de M sur l’axe $Δ$ n’est pas nul que le point M tourne autour de l’axe $Δ$ à l’instant t. C’est fondamental pour comprendre l’utilisation du moment cinétique: il est principalement utilisée pour étudier des rotations. Attention, ça ne signifie pas que la trajectoire est courbe: un point M qui va en ligne droite semble tourne quand on se place sur un axe B non parallèle à la trajectoire ! Le moment est non nul si M semble tourner par rapport à l’axe.

Il dépend aussi de la distance à l’axe. L’introduction du moment cinétique est d’avoir une grandeur similaire à la quantité de mouvement mais pour la rotation, c’est-à-dire qui va être la grandeur modifiée par les actions du milieux extérieures sur la rotation de M autour de l’axe. D’un point de vue inertiel, on comprend qu’il est plus difficile de modifier la rotation d’un point matériel situé loin de l’axe si on se trouve sur l’axe.

Il est algébrique et le moment cinétique est positif si le point M tourne dans le sens des $θ$ croissant (angles orientés en cohérence avec l’axe orienté $Δ$ ) et le moment cinétique est négatif si le point M tourne dans le sens des $θ$ décroissant (angles orientés en cohérence avec l’axe orienté $Δ$ ).

On observe donc que le moment cinétique, à l’image de la quantité de mouvement contient des information

sur le mouvement: sa vitesse de rotation et son sens de rotation autour de l’axe.

sur la facilité qu’on aura à modifier cette rotation depuis l’axe: sa masse et sa distance à l’axe.

Il faut noter néanmoins que l’on ne garde que des informations sur la rotation relative à l’axe.. Comme montré précédemment un mouvement peut avoir des caractéristiques qui n’apparaissent plus directement (comme une trajectoire rectiligne non parallèle à l’axe $Δ$ ).

1.1.2.3. Energie cinétique#

Important

Energie cinétique d’un point matériel

On appelle énergie cinétique d’un point matériel M de masse m dans le référentiel R, la quantité scalaire:

E_{c} = \frac{1}{2} m v_{M / R}^{2}

Eléments cinétiques

Contents

1.1.2.2. Eléments cinétiques#

1.1.2.2.1. Quantité de mouvement#

1.1.2.2.2. Moment cinétique d’un point matériel#

1.1.2.2.2.1. Moment cinétique: Définition#

1.1.2.2.2.2. Moment cinétique: Interprétation (en ligne)#

1.1.2.3. Energie cinétique#