Dans toute la suite on travaillera implicitement dans un référentiel \(\mathfrak{R}\).
Pour interprêter le moment cinétique par rapport à un axe orienté \(\Delta\), on va se placer dans un repère cylindrique d’axe \(\Delta\) centré en un point O de l’axe.
On peut donc écrire:
\[\begin{align*}
\overrightarrow{OM} = r \overrightarrow{e_r} + z \overrightarrow{e_z}\\
\overrightarrow{v_{M/\mathfrak{R}}} = \dot r \overrightarrow{e_r} + r \dot \theta \overrightarrow{e_{\theta}} + \dot z \overrightarrow{e_z}
\end{align*}\]
On peut donc calculer le moment cinétique de M sur \(\Delta\) dans \(\mathfrak{R}\):
\[\begin{align*}
L_{\Delta/R} &= \overrightarrow{u_{\Delta}} \cdot \overrightarrow{L_{O/R}}(M)\\
&= m\overrightarrow{e_z} \cdot ((r \overrightarrow{e_r} + z \overrightarrow{e_z}) \wedge (\dot r \overrightarrow{e_r} + r \dot \theta \overrightarrow{e_{\theta}} + \dot z \overrightarrow{e_z}))\\
&= m r^2 \dot \theta
\end{align*}\]
On observe que:
Le moment cinétique de M sur l’axe \(\Delta\) n’est pas nul que le point M tourne autour de l’axe \(\Delta\) à l’instant t. C’est fondamental pour comprendre l’utilisation du moment cinétique: il est principalement utilisée pour étudier des rotations. Attention, ça ne signifie pas que la trajectoire est courbe: un point M qui va en ligne droite semble tourne quand on se place sur un axe B non parallèle à la trajectoire ! Le moment est non nul si M semble tourner par rapport à l’axe.
Il dépend aussi de la distance à l’axe. L’introduction du moment cinétique est d’avoir une grandeur similaire à la quantité de mouvement mais pour la rotation, c’est-à-dire qui va être la grandeur modifiée par les actions du milieux extérieures sur la rotation de M autour de l’axe. D’un point de vue inertiel, on comprend qu’il est plus difficile de modifier la rotation d’un point matériel situé loin de l’axe si on se trouve sur l’axe.
Il est algébrique et le moment cinétique est positif si le point M tourne dans le sens des \(\theta\) croissant (angles orientés en cohérence avec l’axe orienté \(\Delta\)) et le moment cinétique est négatif si le point M tourne dans le sens des \(\theta\) décroissant (angles orientés en cohérence avec l’axe orienté \(\Delta\)).
On observe donc que le moment cinétique, à l’image de la quantité de mouvement contient des information
Il faut noter néanmoins que l’on ne garde que des informations sur la rotation relative à l’axe.. Comme montré précédemment un mouvement peut avoir des caractéristiques qui n’apparaissent plus directement (comme une trajectoire rectiligne non parallèle à l’axe \(\Delta\)).