Méthodes

1.2.1. Méthodes#

1.2.1.1. Cinématique#

Calcul d’une accélération en coordonnées sphériques.

On considère un point M contraint à se déplacer sur une sphère fixe de rayon $R_{0}$ . Il part du pôle Nord de la sphère en direction du pôle Sud à une vitesse $v_{0}$ constante. Déterminer le vecteur accélération et l’évolution des coordonnées sphériques du point M dans un repère sphérique associé au référentiel de la boule.

Cas d’un satellite géostationnaire.

Un satellite géostationnaire est un satellite en orbite circulaire autour de la terre à une altitude $h = r - R_{T}$ où $R_{T}$ est le rayon de la Terre (r est le rayon de l’orbite). L’orbite est équatoriale et il reste fixe par rapport à un point de la Terre. Il est soumis à une accélération dans le référentiel géocentrique:

\vec{a} = - g_{0} {(\frac{R_{T}}{r})}^{2} \vec{e_{ρ}}

Calculer r avec $g_{0} = 9, 8 m . s^{- 1}$ et $R_{T} = 6400 k m$ .

Mouvement uniformément accéléré

On considère un point M donc le vecteur accélération est constant. Déterminer l’équation horaire du point M pour une vitesse initiale $\vec{v_{0}}$ et une position initiale $M_{0}$ à $t = 0$ .

1.2.1.2. Cinétique#

1.2.1.2.1. Calcul de moment cinétique#

Exercice

Soit un repère cartésien de centre O associé à un référentiel $R$ .

On considère un point matériel M de masse M en mouvement rectiligne sur un axe Oz à une vitesse $v (t)$ .

Exprimer la quantité de mouvement de M dans le référentiel $R$ .
Exprimer le moment cinétique du point M par rapport au point O dans le référentiel $R$ . Commenter sa valeur.
Exprimer le moment cinétique du point M par rapport à l’axe Ox dans le référentiel $R$ . Commenter sa valeur.
Exprimer le moment cinétique du point M par rapport à l’axe Bx dans le référentuel $R$ . On donne les coordonnées de $B (a, b, 0)$ . Commenter.

Résolution

Quantité de mouvement

(1.5)# $\vec{p_{M / R}} = m \vec{v_{M / R}}$

Moment cinétique

$\begin{aligned} \vec{L_{O / R} (M)} & = \vec{O M} \land \vec{p_{M / R}} \\ = z \vec{e_{z}} \land m v (t) \vec{e_{z}} \\ = 0 \\ L_{O x / R} (M) & = \vec{e_{x}} \cdot \vec{L_{O / R} (M)} = 0 \\ \vec{L_{B / R} (M)} & = \vec{B M} \land \vec{p_{M / R}} \\ = (- a \vec{e_{x}} - b \vec{e_{y}} + z \vec{e_{z}}) \land m v (t) \vec{e_{z}} \\ = m a v (t) \vec{e_{y}} - m v (t) b \vec{e_{x}} \\ L_{O x / R} (M) & = \vec{e_{x}} \cdot \vec{L_{B / R} (M)} = - m v (t) b \end{aligned}$

Les moments par rapport à O et Ox sont évidemment nuls car le point M ne tourne pas autour de O (il s’en éloigne ou s’en rapproche en ligne droite) ni autour de Ox.

Le moment autour de Bx est non nul car si l’on se place sur l’axe Bx, on voit effectivement le point M tourner autour de l’axe. Si v(t) et b sont positifs, le moment est négatif. En effet, la rotation à effectuer pour suivre le point M quand on est sur l’axe Bx ne se fait effectivement pas en cohérence avec l’orientation de l’axe Bx.

Méthodes

Contents

1.2.1. Méthodes#

1.2.1.1. Cinématique#

1.2.1.2. Cinétique#

1.2.1.2.1. Calcul de moment cinétique#