Méthodes

Cinématique

Calcul d’une accélération en coordonnées sphériques.

On considère un point M contraint à se déplacer sur une sphère fixe de rayon \(R_0\). Il part du pôle Nord de la sphère en direction du pôle Sud à une vitesse \(v_0\) constante. Déterminer le vecteur accélération et l’évolution des coordonnées sphériques du point M dans un repère sphérique associé au référentiel de la boule.

Résolution

Cet exercice présente deux points importants: la traduction de contrainte cinématique en terme d’expression des coordonnées et des vecteurs et la détermination d’une accélération en sphérique par dérivation du vecteur vitesse.

• Coordonnées et vecteur vitesse. Ici, les contraintes sont: \(\rho = R_0= Cste; \theta = \frac{v_0}{R_0} t; \varphi = \varphi_0 = Cste\). On choisi l’origine des angles de tels sorte que \(\varphi_0 = 0\). Il est important de comprendre l’expression de \(\theta(t)\) qui traduit la relation en vitesse linéaire et vitesse angulaire.

Il vient que le vecteur vitesse s’écrit:

(6)\[\begin{equation} \overrightarrow{v_{M/Boule}} = R_0 \frac{v_0}{R_0} \overrightarrow{e_{\theta}} \end{equation}\]

• Dérivation du vecteur vitesse. Il vient par dérivation:

\[\begin{align*} \overrightarrow{a_{M/Boule}} &= \frac{\rm{d}v_0}{\rm{dt}} \overrightarrow{e_{\theta}} + v_0 \frac{\rm{d}\overrightarrow{e_{\theta}}}{\rm{dt}}\\ &= v_0 \left(\dot \theta \frac{\partial \overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial \theta} + \dot \varphi \frac{\partial \overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial \varphi}\right)\\ &= - \frac{v_{0}^2}{R_0} \overrightarrow{e_\rho} \end{align*}\]

Cas d’un satellite géostationnaire.

Un satellite géostationnaire est un satellite en orbite circulaire autour de la terre à une altitude \(h=r-R_T\) où \(R_T\) est le rayon de la Terre (r est le rayon de l’orbite). L’orbite est équatoriale et il reste fixe par rapport à un point de la Terre. Il est soumis à une accélération dans le référentiel géocentrique:

\[ \overrightarrow{a} = - g_0 {(\frac{R_T}{r})}^2 \overrightarrow{e_\rho} \]

Calculer r avec \(g_0 = 9,8 \rm{m.s^{-1}}\) et \(R_T = 6400 \rm{km}\).

Résolution

On peut utilise directement le fait que l’accélération radiale s’écrit \(- \rho \dot \theta^2 \overrightarrow{e_\rho}\) (ici \(r= \rho\))

Un satellite géostationnaire doit tourner autour de la terre en 24h, soit une vitesse angulaire \(\dot \theta = \frac{2 \pi}{T_0}\) avec \(T_0 = 24 \rm{h} = 86400 \rm{s}\).

Il vient:

\[\begin{align*} r &= {\left(\frac{g_0 R_T^2T_0^2}{4 \pi^2 }\right)}^{\left(1/3\right)}\\ &= 42 \times 10^3 \rm{km} \end{align*}\]

Mouvement uniformément accéléré

On considère un point M donc le vecteur accélération est constant. Déterminer l’équation horaire du point M pour une vitesse initiale \(\overrightarrow{v_0}\) et une position initiale \(M_0\) à \(t = 0\).

Résolution

La direction du vecteur accélération étant constante, on va particulariser cet axe en le choisissant comme axe Ox. On pose le point O confondu avec \(M_0\) et on choisit un système de coordonnées cartésiennes dont l’axe Oy est tel que le vecteur vitesse initiale soit plan xOy. On peut donc écrire que:

\[\begin{align*} \overrightarrow{a} &= a_0 \overrightarrow{e_x}\\ \overrightarrow{v} &= v_{0x} \overrightarrow{e_x} + v_{0y} \overrightarrow{e_y} \end{align*}\]

Par projection, on trouve que:

\[\begin{align*} \frac{\rm{d}v_x}{\rm{dt}} &= a_0\\ \frac{\rm{d}v_y}{\rm{dt}} &= 0\\ \frac{\rm{d}v_z}{\rm{dt}} &= 0 \end{align*}\]

soit par intégration:

\[\begin{align*} v_x &= v_{0x} + a_0 t \Longrightarrow x(t) = \frac{a_0}{2}t^2 + v_{0x} t + x_0\\ v_x &= v_{0x} \Longrightarrow x(t) = v_{0x} t + y_0\\ v_x &= 0 \Longrightarrow x(t) = z_0 \end{align*}\]

Comme nous le verrons, on peut montrer qu’une telle équation est celle d’une parabole.

Cinétique

Calcul de moment cinétique

Exercice

Soit un repère cartésien de centre O associé à un référentiel \(\mathfrak{R}\).

On considère un point matériel M de masse M en mouvement rectiligne sur un axe Oz à une vitesse \(v(t)\).

1. Exprimer la quantité de mouvement de M dans le référentiel \(\mathfrak{R}\).

2. Exprimer le moment cinétique du point M par rapport au point O dans le référentiel \(\mathfrak{R}\). Commenter sa valeur.

3. Exprimer le moment cinétique du point M par rapport à l’axe Ox dans le référentiel \(\mathfrak{R}\). Commenter sa valeur.

4. Exprimer le moment cinétique du point M par rapport à l’axe Bx dans le référentuel \(\mathfrak{R}\). On donne les coordonnées de \(B(a,b,0)\). Commenter.

Résolution

Quantité de mouvement

(7)\[\begin{equation} \overrightarrow{p_{M/R}} = m \overrightarrow{v_{M/R}} \end{equation}\]

Moment cinétique

\[\begin{align*} \overrightarrow{L_{O/\mathfrak{R}}(M)} &= \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{p_{M/R}}\\ &= z \overrightarrow{e_z} \wedge m v(t) \overrightarrow{e_z}\\ &= 0\\ L_{Ox/\mathfrak{R}}(M) &= \overrightarrow{e_x} \cdot \overrightarrow{L_{O/\mathfrak{R}}(M)} = 0\\ \overrightarrow{L_{B/\mathfrak{R}}(M)} &= \overrightarrow{BM} \wedge \overrightarrow{p_{M/R}}\\ &= (-a \overrightarrow{e_x} - b \overrightarrow{e_y} + z \overrightarrow{e_z}) \wedge m v(t) \overrightarrow{e_z}\\ &= mav(t) \overrightarrow{e_y} - mv(t)b \overrightarrow{e_x}\\ L_{Ox/\mathfrak{R}}(M) &= \overrightarrow{e_x} \cdot \overrightarrow{L_{B/\mathfrak{R}}(M)} = - mv(t)b \end{align*}\]

Les moments par rapport à O et Ox sont évidemment nuls car le point M ne tourne pas autour de O (il s’en éloigne ou s’en rapproche en ligne droite) ni autour de Ox.

Le moment autour de Bx est non nul car si l’on se place sur l’axe Bx, on voit effectivement le point M tourner autour de l’axe. Si v(t) et b sont positifs, le moment est négatif. En effet, la rotation à effectuer pour suivre le point M quand on est sur l’axe Bx ne se fait effectivement pas en cohérence avec l’orientation de l’axe Bx.

Exercice

On considère un point M sur une trajectoire circulaire de centre O et d’axe Oz. Exprimer la quantité de mouvement dans une base cylindrique ainsi que le moment cinétique de M sur l’axe Oz.

Résolution

Quantité de mouvement

\[\begin{align*} \overrightarrow{p_{M/R}} &= m \rho \dot \theta \overrightarrow{e_{\theta}}\\ \overrightarrow{L_{O/\mathfrak{R}}(M)} &= \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{p_{M/R}}\\ &= \rho \overrightarrow{e_\rho} \wedge m \rho \dot \theta \overrightarrow{e_{\theta}}\\ &= m \rho^2 \dot \theta \overrightarrow{e_z} \\ \end{align*}\]