Exercice

L’équation d’un oscillateur harmonique est un système dont l’évolution est régit par une équation différentielle de la forme:

On considère un ressort de raideur k et de longueur $l_0$ accroché d’un côté à un point A de côte $x_A$ fixe et de l’autre à une masse m assimilable à un point matériel noté M. Le point M glisse sans frottements sur un axe Ox de sorte que le ressort reste horizontal. On note x la position du point M par rapport à un point O de référence. Pour cet exercice, le point O est confondu avec le point A.

1. Exprimer l’équation d’évolution de x(t).

2. En comparant l’équation d’un oscillateur LC en électrocinétique à celle obtenue ici. Proposer des grandeurs analogues entre k,m,L et C

Exercice

Un oscillateur (linéaire) amorti possède comme équation différentielle:

On reprend le cas précédent du système masse-ressort mais on suppose que le système est soumis à une force de frottement fluide de la forme $-\lambda \overrightarrow{v}$.

1. Déterminer la nouvelle équation qui régit l’évolution de x. Introduire les expressions de la pulsation propre et du facteur de qualité.

2. Déduire une analogie avec la résistance électrique d’un circuit RLC série.

3. Retrouver, en utilisant l’analogie précédente les valeurs de la pulsation propre, du facteur de qualité et du coefficient d’amortissement.

Remarque: Comme précédemment, on réalisera un changement de variable $X=x-x_{eq}$ pour s’affranchir du second membre constant et étudier uniquement les variations autour de la position d’équilibre.

Exercice

On considère l’oscillateur amorti étudié précédemment. On applique à la masse m une force supplémentaire $\overrightarrow{F}(t)=F_m\cos \omega t\overrightarrow{e_x}$.

On pose X(t) l’écart à la position d’équilibre.

1. Etablir l’équation différentielle qui régit l’évolution de X(t)

2. En déduire la représentation complexe $\underset{―}{X}$ de X(t). Commenter le comportement fréquentielle de la réponse en élongation.

Exercice

On considère à nouveau l’oscillateur amorti mais sans la force ajotée précédemment. Par contre, on fait bouger le point A de sorte que $\overrightarrow{OA}=x_m\cos \omega t\overrightarrow{e_x}$.

On pose X(t) l’écart à la position d’équilibre lorsque $\overrightarrow{OA}=0$.

1. Etablir l’équation différentielle qui régit l’évolution de X(t)

2. En déduire la représentation complexe $\underset{―}{X}$ de X(t). Commenter le comportement fréquentielle de la réponse en élongation.