Oscillateur harmonique

4.1.2. Oscillateur harmonique#

4.1.2.1. Oscillateur harmonique: Equation#

Important

Equation différentielle d’un oscillateur harmonique

Un oscillateur harmonique est un système dont l’équation d’évolution s’écrit:

\frac{d^{2} x}{d t^{2}} (t) + ω_{0}^{2} x (t) = ω_{0}^{2} x_{e q}

On rappelle qu’on peut annuler le second membre constant en procédant à un changement de variable $X = x - x_{e q}$ . Pour la suite, on étudiera directement l’équation sans second membre.

Important

Energie potentielle

La résultante des forces en mécanique s’écrit donc sous la forme $\vec{F} = - k x \vec{e_{x}}$ et elle dérive d’une énergie potentielle sous la forme $E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}$

Attention: ces expressions seront à modifier suivant le système de coordonnées choisi.

4.1.2.2. Evolution temporelle#

Exercice

Donner les deux formes générales de $X (t)$
Déterminer les constantes d’intégration sous les deux formes pour des conditions initialles à $t = 0$ : $x (t = 0) = x_{0}; v (t = 0) = v_{0}$ .
Vérifier qu’il y a isochronisme des oscillations.
Représenter graphiquement l’évolution temporelle de $X (t)$ .

4.1.2.3. Evolution énergétique#

Exercice

On suppose que les oscillations sont d’amplitude $x_{0}$ .

Exprimer l’énergie potentielle et l’énergie cinétique au cours du temps.
En déduire l’expression de l’énergie mécanique
On a représenté graphiquement l’évolution temporelle des grandeurs énergétiques. Commenter les échanges d’énergie.

Oscillateur harmonique

Contents

4.1.2. Oscillateur harmonique#

4.1.2.1. Oscillateur harmonique: Equation#

4.1.2.2. Evolution temporelle#

4.1.2.3. Evolution énergétique#