Mouvements particuliers

6.1.1.3. Mouvements particuliers#

6.1.1.3.1. Translation#

On rappelle que dans une translation, tous les points du système ont la même vitesse dans un référentiel donné. Cette vitesse correspond donc aussi à la vitesse du centre d’inertie.

Important

Eléments cinétiques

L’énergie cinétique du système S dans un référentiel peut alors s’écrire:

E_{c / R} = \frac{1}{2} M v_{G / R}^{2}

Le moment cinétique du système S par rapport à un point A dans un référentiel donné s’écrit donc:

\vec{L_{A / R}} = \vec{A G} \land M \vec{v_{G / R}}

6.1.1.3.2. Solide en rotation autour d’un axe fixe#

6.1.1.3.2.1. Moment d’inertie#

Nous allons d’abord introduire une grandeur très important pour décrire la rotation d’un solide. Nous verrons par la suite qu’elle intervient dans l’expression de l’énergie cinétique et du moment cinétique.

Important

Moment d’inertie

Lorsqu’un solide S est en rotation autour d’un axe fixe, on définit son moment d’inertie $J_{S / Δ}$ par rapport à l’axe par la grandeur:

Cas discret: $J_{S / Δ} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} d_{i}^{2}$ où $d_{i}$ est la distance entre le point $P_{i}$ et l’axe.
Cas continu: $J_{S / Δ} = ∭_{P \in S} ρ (P) {d (P)}^{2} d τ (P)$ où $d (P)$ est la distance entre le point P et l’axe.

6.1.1.3.2.2. Grandeurs cinétiques#

L’expression de la quantité de mouvement peut toujours s’obtenir par sommation et/ou en utilisant la position du centre d’inertie. Attention, la quantité de mouvement n’est pas nécessairement nulle (cas d’un centre d’inertie qui n’est pas sur l’axe de rotation).

Important

Moment cinétique sur l’axe de rotation

Pour un solide S en rotation autour d’un axe fixe dans R, le moment cinétique $σ_{S / Δ}$ du solide S dans le référentiel R s’exprime comme le produit du moment d’inertie $J_{S / Δ}$ du même système multiplié par la vitesse de rotation $ω$ comptée algébriquement en cohérence avec l’orientation de l’axe (règle du tire-bouchon par exemple):

σ_{S / Δ} = J_{S / Δ} ω

Démonstration

Démonstration

$\begin{aligned} σ_{S / Δ} & = ∭_{P \in S} ρ (P) (\vec{O P} \land \vec{v (P)}) \cdot \vec{u_{Δ}} d τ (P) \\ = ∭_{P \in S} ρ (P) (\vec{O P} \land (\vec{Ω} \land \vec{O P})) \cdot \vec{u_{Δ}} d τ (P) \end{aligned}$

En utilisant des coordonnées cylindriques d’axe $Δ$ :

$\begin{aligned} = ∭_{P \in S} ρ (P) ((r (P) \vec{e_{r}} + z (P) \vec{e_{z}}) \land (r (P) ω \vec{e_{θ}})) \cdot \vec{e_{z}} d τ (P) \\ = ∭_{P \in S} ρ (P) r^{2} (P) ω d τ (P) \\ = J_{S / Δ} ω \end{aligned}$

Important

Energie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe.

Dans le cas d’une rotation autour d’un axe fixe $Δ$ , l’énergie cinétique du solide peut s’écrire sous la forme:

E_{c} = \frac{1}{2} J_{S / Δ} ω^{2}

où $J_{S / Δ}$ est le moment cinétique de S par rapport à l’axe $Δ$ et $ω$ la vitesse angulaire de rotation du solide sur le même axe.

Démonstration

Démonstration

$\begin{aligned} E_{c / R} & = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} \\ = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{2} m_{i} {(r_{i} ω)}^{2} \\ = \frac{1}{2} J_{S / Δ} ω^{2} \end{aligned}$

Mouvements particuliers

Contents

6.1.1.3. Mouvements particuliers#

6.1.1.3.1. Translation#

6.1.1.3.2. Solide en rotation autour d’un axe fixe#

6.1.1.3.2.1. Moment d’inertie#

6.1.1.3.2.2. Grandeurs cinétiques#