Théorème du moment cinétique

2.1.2.2. Théorème du moment cinétique#

2.1.2.2.1. Enoncé#

Important

Théorème du moment cinétique. Enoncé par rapport à un point.

Soit un point matériel M. Dans un référentiel galiléen $R$ , la dérivée du moment cinétique du point M en un point A fixe dans $R$ par rapport au temps est égale à la somme des moments des actions exercées sur M par rapport au même point A.

{(\frac{d \vec{L_{A / R}} (M)}{d t})}_{R} = \sum_{i} \vec{M_{A}} (A_{i})

Démonstration

$\begin{aligned} {\frac{d \vec{L_{A / R}} (M)}{d t}}_{R} & = {\frac{d}{d t} (\vec{A M} \land \vec{p_{M / R}})}_{R} \\ = {\frac{d}{d t} (\vec{A M})}_{R} \land \vec{p_{M / R}} + \vec{A M} \land {\frac{d}{d t} (\vec{p_{M / R}})}_{R} \\ = \underset{= 0}{\underset{⏟}{\vec{V_{M / R}} \land \vec{p_{M / R}}}} + \vec{A M} \land (\sum \vec{F_{\to M}}) \\ = \sum_{i} \vec{M_{A}} (A_{i}) \end{aligned}$

Important

Théorème du moment cinétique. Enoncé par rapport à un axe.

Soit un point matériel M. Dans un référentiel galiléen $R$ , la dérivée du moment cinétique du point M sur un axe $Δ$ orienté fixe dans $R$ par rapport au temps est égale à la somme des moments des actions exercées sur M par rapport au même axe $Δ$ .

Démonstration Il suffit d’appliquer le TMC en un point de l’axe et de projeter l’équation sur un vecteur directeur de l’axe.

Théorème du moment cinétique

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2.1.2.2. Théorème du moment cinétique#

2.1.2.2.1. Enoncé#