Théorème du moment cinétique

Enoncé

Important

Théorème du moment cinétique. Enoncé par rapport à un point.

Soit un point matériel M. Dans un référentiel galiléen \(\mathfrak{R}\), la dérivée du moment cinétique du point M en un point A fixe dans \(\mathfrak{R}\) par rapport au temps est égale à la somme des moments des actions exercées sur M par rapport au même point A.

\[ {(\frac{d \overrightarrow{L_{A/\mathfrak{R}}}(M)}{dt})}_{\mathfrak{R}} = \sum_i \overrightarrow{M_A}(\mathfrak{A_i}) \]

Démonstration

\[\begin{align*} \frac{\rm{d}\overrightarrow{L_{A/\mathfrak{R}}}(M)}{\rm{dt}}_{\mathfrak{R}} &= {\frac{\rm{d}}{\rm{dt}}\left(\overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{p_{M/\mathfrak{R}}}\right)}_{\mathfrak{R}} \\ &= {\frac{\rm{d}}{\rm{dt}}\left(\overrightarrow{AM}\right)}_{\mathfrak{R}} \wedge \overrightarrow{p_{M/\mathfrak{R}}} + \overrightarrow{AM} \wedge {\frac{\rm{d}}{\rm{dt}}\left(\overrightarrow{p_{M/\mathfrak{R}}}\right)}_{\mathfrak{R}}\\ &= \underbrace{\overrightarrow{V_{M/\mathfrak{R}}} \wedge \overrightarrow{p_{M/\mathfrak{R}}}}_{= 0} + \overrightarrow{AM} \wedge \left(\sum \overrightarrow{F_{\to M}}\right)\\ &= \sum_i \overrightarrow{M_{A}}\left(\mathfrak{A_i}\right) \end{align*}\]

Important

Théorème du moment cinétique. Enoncé par rapport à un axe.

Soit un point matériel M. Dans un référentiel galiléen \(\mathfrak{R}\), la dérivée du moment cinétique du point M sur un axe \(\Delta\) orienté fixe dans \(\mathfrak{R}\) par rapport au temps est égale à la somme des moments des actions exercées sur M par rapport au même axe \(\Delta\).

Démonstration Il suffit d’appliquer le TMC en un point de l’axe et de projeter l’équation sur un vecteur directeur de l’axe.

Interprétation

On retrouve “l’intuition” qui a été utilisée dans le chapitre précédent pour prévoir l’évolution du moment. Le moment résultant sur le point M va influencer la rotation du point M autour de l’axe de calcul.