1.1.2. Cinétique du point

Introduction

Il s’agit d’une partie très courte ayant pour but d’apprendre à calculer les caractéristiques cinétiques qu’on associe à un point matériel. La matérialité d’un point introduit son inertie. Il s’agit du concept physique qui permettra de faire le lien entre les actions du milieu extérieur et le mouvement du système mécanique. Nous apprendrons à calculer ces caractéristiques et donnerons un sens au moment cinétique qui nous servira à étudier les rotations et les mouvements circulaires (entre autre… ).

1.1.2.1. Point matériel et inertie

Utilisation du point matériel

Le point matériel possède trois utilité:

• toutes les lois fondamentales de la mécanique concerne le système “point matériel”

• il sert à la description d’un système mécanique qui sera constitué d’un ensemble de points matériels (cf. suite).

• il permet la modélisation simplifiée d’un système mécanique qu’on va assimilé à un point matériel seul. Il s’agit d’une modélisation qui n’est valable que si la rotation ou la déformation du système mécanique n’a pas d’influence sur le mouvement global du système mécanique (ou n’existe pas).

Important

Point matériel

• Un point matériel est une modélisation idéalisée d’un objet ponctuel matériel, c’est-à-dire d’une portion infinitésimale de matière.

• Un point matériel ne nécessite que la données de 3 coordonnées de repérage dans l’espace et de masse (cf. suite).

Modélisation valable et non valable par un point matériel seul.

• Un ballon lancé dans l’air peut être assimilé à un point matériel si l’influence de l’air (frottements) est négligées ou si la rotation du ballon est relativement faible. Son mouvement sera identique au point considérée. Nous verrons par la suite que le point auquel on assimile le ballon est son centre d’inertie.

• Un ballon qui roule sur un plan incliné ne peut être assimilé à un point. En effet, la nature du contact entre le ballon et le plan (roulement sans glissement ou non… ) a une influence essentielle sur le mouvement du ballon. On doit tenir compte de la rotation du ballon.

Par la suite, on parlera de “masse” sans préciser qu’il s’agit de masse inertielle.

Important

Masse intertielle.

• La capacité que possède un objet matériel à résister à toute variation de mouvement est appelé inertie.

  • Pour un point matériel, la propriété d’inertie est représentée par une grandeur scalaire positive appelée masse inertielle dans l’unité est le kg. Plus la masse inertielle d’un objet est grande, plus il est difficile de modifier sa vitesse.

La masse est inertielle est indépendante du temps et du référentiel considéré: il s’agit d’une caractéristique propre au point matériel. Pour un système fermé (n’échangeant pas de matière), elle est conservée.

Exemple

• Un joueur de ping-pong peut renvoyer sans problème une balle de ping-pong avec sa raquette mais ne pourra renvoyer une boule de billard, même si les deux ont la même vitesse.

• De même, il est plus facile de mettre en mouvement ou d’arrêter le mouvement d’une poussette avec ses simple bras que celui d’une voiture.

Dans les deux cas, la voiture et la boule de billard résistent plus à une variation de leur vitesse (norme ou orientation): le paramètre qui caractérise cette différence est leur masse.

1.1.2.2. Eléments cinétiques

1.1.2.2.1. Quantité de mouvement

Intérêt

La quantité de mouvement est fondamentale car c’est elle qui est directement modifiée par l’action du milieu extérieur au point matériel M par l’intermédiaire des forces comme nous le verrons par la suite.

Important

Quantité de mouvement d’un point matériel

Soit M un point matériel de masse inertielle m. On définit la quantité de mouvement d’un point M dans le référentiel R par la grandeur:

\[ \overrightarrow{p_{M/R}} = m \overrightarrow{v_{M/R}} \]

1.1.2.2.2. Moment cinétique d’un point matériel

Introduction

Au niveau du point matériel, le moment cinétique se déduit de la quantité de mouvement. Il permet d’étudier plus simplement certains types de mouvement (mouvement de rotation) car il donne directement des informations sur… la rotation du point.

Lorsque nous travaillerons à des systèmes de points matériels, nous verrons que ce moment ne se déduit plus directement de la quantité de mouvement et devient alors une source d’information complémentaire à la quantité de mouvement.

1.1.2.2.2.1. Moment cinétique: Définition

Dépendance du point considéré

Un moment cinétique se calcule par rapport à un A de l’espace (pas nécessairement le centre du repère). Il est important de le préciser car l’expression du moment cinétique dépend du point considéré. Celà devient évident lorsqu’on donne un sens (cf. suite) au moment cinétique.

On peut calculer un moment cinétique par rapport à un point fixe ou non fixe dans le référentiel considéré. En physique, on se limitera à l’utilisation d’un point fixe de manière à pouvoir appliquer les théorème fondamentaux.

Important

Moment cinétique par rapport à un point.

Soit un point M de masse m, de vitesse \(\overrightarrow{v_{M/R}}\), de quantité de mouvement \(\overrightarrow{p_{M/R}}\) rapport au référentiel R et A un point. Le moment cinétique d’un point M par rapport à un point A dans le référentiel R est défini par le vecteur:

\[ \overrightarrow{L_{A/R}(M)} = \overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{p_{M/R}} \]

L’expression précédente ne dépend pas du point B tant que B est sur l’axe. C’est pourquoi on peut parler de moment cinétique sur un axe sans précision.

Important

Moment cinétique par rapport à un axe.

Soit un axe \(\Delta\) orienté. On note B un point de cet axe et \(\overrightarrow{u_{\Delta}}\) un vecteur unitaire directeur de l’axe. On définit un moment cinétique rapport à l’axe \(\Delta\):

\[ L_{\Delta/R} = \overrightarrow{u_{\Delta}} \cdot \overrightarrow{L_{B/R}}(M) \]

Attention

Scalaire et vecteur

Le moment cinétique par rapport à un point est un vecteur et le moment cinétique par rapport à un axe est un scalaire. Il est important de faire cette différence.

1.1.2.2.2.2. Moment cinétique: Interprétation

Interprétation du moment cinétique par rapport à un axe

Dans toute la suite on travaillera implicitement dans un référentiel \(\mathfrak{R}\).

Pour interprêter le moment cinétique par rapport à un axe orienté \(\Delta\), on va se placer dans un repère cylindrique d’axe \(\Delta\) centré en un point O de l’axe.

On peut donc écrire:

\[\begin{align*} \overrightarrow{OM} = r \overrightarrow{e_r} + z \overrightarrow{e_z}\\ \overrightarrow{v_{M/\mathfrak{R}}} = \dot r \overrightarrow{e_r} + r \dot \theta \overrightarrow{e_{\theta}} + \dot z \overrightarrow{e_z} \end{align*}\]

On peut donc calculer le moment cinétique de M sur \(\Delta\) dans \(\mathfrak{R}\):

\[\begin{align*} L_{\Delta/R} &= \overrightarrow{u_{\Delta}} \cdot \overrightarrow{L_{O/R}}(M)\\ &= m\overrightarrow{e_z} \cdot ((r \overrightarrow{e_r} + z \overrightarrow{e_z}) \wedge (\dot r \overrightarrow{e_r} + r \dot \theta \overrightarrow{e_{\theta}} + \dot z \overrightarrow{e_z}))\\ &= m r^2 \dot \theta \end{align*}\]

On observe que:

• Le moment cinétique de M sur l’axe \(\Delta\) n’est pas nul que le point M tourne autour de l’axe \(\Delta\) à l’instant t. C’est fondamental pour comprendre l’utilisation du moment cinétique: il est principalement utilisée pour étudier des rotations. Attention, ça ne signifie pas que la trajectoire est courbe: un point M qui va en ligne droite semble tourne quand on se place sur un axe B non parallèle à la trajectoire ! Le moment est non nul si M semble tourner par rapport à l’axe.

• Il dépend aussi de la distance à l’axe. L’introduction du moment cinétique est d’avoir une grandeur similaire à la quantité de mouvement mais pour la rotation, c’est-à-dire qui va être la grandeur modifiée par les actions du milieux extérieures sur la rotation de M autour de l’axe. D’un point de vue inertiel, on comprend qu’il est plus difficile de modifier la rotation d’un point matériel situé loin de l’axe si on se trouve sur l’axe.

• Il est algébrique et le moment cinétique est positif si le point M tourne dans le sens des \(\theta\) croissant (angles orientés en cohérence avec l’axe orienté \(\Delta\)) et le moment cinétique est négatif si le point M tourne dans le sens des \(\theta\) décroissant (angles orientés en cohérence avec l’axe orienté \(\Delta\)).

On observe donc que le moment cinétique, à l’image de la quantité de mouvement contient des information

• sur le mouvement: sa vitesse de rotation et son sens de rotation autour de l’axe.

• sur la facilité qu’on aura à modifier cette rotation depuis l’axe: sa masse et sa distance à l’axe.

Il faut noter néanmoins que l’on ne garde que des informations sur la rotation relative à l’axe.. Comme montré précédemment un mouvement peut avoir des caractéristiques qui n’apparaissent plus directement (comme une trajectoire rectiligne non parallèle à l’axe \(\Delta\)).

Interprétation du moment cinétique par rapport à un point.

En remarquant que la projection du moment cinétique par rapport à un point B sur différents axes passante par B, on trouve la tendance qu’a le point M à tourner autour de chaque axe passant par B. Il apparaît donc que le moment cinétique du point M par rapport à un point B correspond à la tendance que possède le point M à tourner autour de B (avec toutes les précautions précédentes sur le fait de “tourner”).

On pourra noter aussi que cette tendance est maximale dans une direction. Il s’agit de la direction du vecteur moment cinétique: cette direction portant le moment cinétique par rapport à un point donne l’axe perpendiculaire au plan dans lequel M est entrain de se déplacer autour de B à l’instant t (on parle en SI d’axe instantané de rotation).

1.1.2.3. Energie cinétique

Important

Energie cinétique d’un point matériel

On appelle énergie cinétique d’un point matériel M de masse m dans le référentiel R, la quantité scalaire:

\[ E_c = \frac{1}{2} m v_{M/R}^2 \]

Variation d’énergie cinétique

• La variation d’énergie cinétique entre deux points A et B ne dépend que des états du système au point A et B (de la vitesse au point A et B) mais pas du chemin parcouru entre les deux. C’est pourquoi, on note cette variation \(\Delta E_c\) (l’important, c’est le signe \(\Delta\)).

• Sur un déplacement infinitésimal, cette variation est infinitésimale et se note \(dE_c\) (l’important, c’est le “d” appelé “d droit”).