Entrainement

Disques couplés

On considère deux disques horizontaux tournant autour d’un axe vertical \(\Delta\) en leur centre. Les disques sont homogènes, de moment d’inertie par rapport à \(\Delta\), \(J_1\) et \(J_2\) et la liaison avec l’axe est parfaite. On repère leur rotation autour de l’axe par deux angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\).

On relie un fil de torsion de constante C d’un côté au bâti et de l’autre eu premier disque puis un deuxième fil de torsion de même constante C d’un côté au premier disque et de l’autre au second disque et enfin un dernier fil de torsion de même constante C d’un côté au deuxième disque et de l’autre au bâti.

1. Déterminer les deux équations différentielles couplées qui régissent les évolutions de \(\theta_1\) et \(\theta_2\).

2. On cherche des configurations pour lesquelles les deux disques oscilles de manièrent sinusoïdales à la même pulsation \(\omega\). Montrer qu’il n’existe que deux pulsations possibles et dont on déterminera les expressions. Décrire le mouvement global pour chaque pulsation.

Point utile pour cet exercice

• \(\Longrightarrow\) Bilan des actions mécanique.

• \(\Longrightarrow\) Théorème du moment cinétique.

• \(\Longrightarrow\) Moment de torsion.

• \(\Longrightarrow\) Oscillateur forcée.

Eléments de réponse (sans justification)

\[\begin{align*} J_1 \ddot \theta_1 = - C \theta_1 + C \left(\theta_2 - \theta_1\right)\\ J_2 \ddot \theta_2 = - C \theta_2 + C \left(\theta_1 - \theta_2\right)\\ \end{align*}\]

\[\begin{align*} \omega &= \sqrt{\frac{3C}{J_1}}\\ \omega &= \sqrt{\frac{C}{J_1}} \end{align*}\]

Entraînement par frottements

On considère un système constitué de deux disques en rotation autour d’un axe \(\Delta\) (les moments d’inertie des deux disques par rapport à l’axe sont notés \(J_1\) et \(J_2\)) au moyen d’une liaison pivot parfaite. A l’instant initial, les deux disques sont éloignés et sans contact et le premier tourne avec une vitesse angulaire \(\omega_0\) et le second est immobile. On approche doucement les deux disques jusqu’à ce qu’ils soient en contact.

1. Déterminer la vitesse angulaire de l’ensemble des deux disques à la fin de la manipulation. Ce résultat dépend-t-il de la nature des frottements entre les deux disques?

2. Faire un bilan d’énergie mécanique pour chaque disque séparément puis pour l’ensemble des deux disques. Commenter les résultats.

Point utile pour cet exercice

• \(\Longrightarrow\) Solide déformable.

• \(\Longrightarrow\) Conservation du moment cinétique.