3.1.1.1. Travail et puissance des actions mécaniques

3.1.1.1.1. Travail et puissance d’une action ponctuelle

Important

Travail élémentaire d’une action ponctuelle

Considérons une action ponctuelle exercée par un système \(\Sigma_1\) sur un point matériel M de masse m et modélisée par une force \(\overrightarrow{F}\). On définit le travail élémentaire de cette action sur un déplacement élémentaire \(\overrightarrow{dOM}\) par:

\[ \delta W (\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{dOM} \]

Ce travail correspond à l’énergie apportée par le système \(\Sigma_1\) au système ponctuel M lorsque ce dernier se déplace de manière infinitésimale de \(\overrightarrow{dOM}\).

Ce transfert d’énergie dépend a priori du déplacement élémentaire considéré.

Important

Travail sur un déplacement fini d’une action ponctuelle

Considérons une action ponctuelle exercée par un système \(\Sigma_1\) sur un point matériel M de masse m et modélisée par une force \(\overrightarrow{F}\). Si le point M se déplace sur un chemin \(\Gamma\). On définit le travail \(W(\overrightarrow{F})\) de cette action sur un déplacement fini le long du chemin \(\Gamma\) par la somme (intégrale) des travaux élémentaires le long de chemin:

\[ W_{\Gamma} (\overrightarrow{F}) = \int_{M \in \Gamma} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{dOM} \]

Ce travail correspond à l’énergie apportée par le système \(\Sigma_1\) au système ponctuel M lorsque ce dernier se déplace sur le chemin \(\Gamma\).

Ce transfert d’énergie dépend a priori du chemin parcouru.

Important

Puissance transmise par une action ponctuelle

Considérons une action ponctuelle exercée par un système \(\Sigma_1\) sur un point matériel M de masse m et modélisée par une force \(\overrightarrow{F}\). Si à un instant t, le point M possède une vitesse \(\overrightarrow{v_{M/\mathfrak{R}}}\) dans un référentiel \(\mathfrak{R}\), on définit la puissance \(P_{\mathfrak{R}}(\overrightarrow{F})\) par cette action au système M dans le référentiel \(\mathfrak{R}\) par:

\[ P_{/\mathfrak{R}} (\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v_{M/\mathfrak{R}}} \]

Cette puissance correspond à la puissance apportée par le système \(\Sigma_1\) au système ponctuel M à un instant t dans le référentiel \(\mathfrak{R}\).

Ce transfert d’énergie dépend a priori du référentiel considéré.

Important

Relation puissance-travail

On a la relation suivante pour une même action:

\[ P_{/\mathfrak{R}}(\overrightarrow{F}) = \frac{\delta W (\overrightarrow{F})}{\rm{d}t} \]

Remarque: Le point pour l’expression du déplacement élémentaire doit être fixe dans \(\mathfrak{R}\).

Cette expression se démontre en remarquant que \(\overrightarrow{v_{M/\mathfrak{R}}} = \frac{\rm{d}\overrightarrow{OM}}{\rm{dt}}_{\mathfrak{R}}\)

Interprétation

Comme on l’a dit dans la définit, le travail correspond à l’apport d’énergie sur un trajet donné par le milieu extérieur par l’intermédiaire de l’action considéré. De même la puissance d’une action correspond à la puissance transmise à un instant donné.

On peut distinguer deux cas:

• la puissance transmise est négative. Cela correspond un angle obtu entre la vitesse de M et la force: on est dans une configuration où l’action tend à ralentir le mobile. D’un point de vue énergétique, il lui enlève la puissance. On dit que l’action est résistante.

• la puissance transmise est positive. Cela correspond un angle aigu entre la vitesse de M et la force: on est dans une configuration où l’action tend à accélérer le mobile. D’un point de vue énergétique, il lui fournit la puissance. On dit que l’action est motrice.

Ces interprétations s’appliquent aussi au travail et la dénomination moteur/résistant restera valable pour des actions résultantes.

3.1.1.1.2. Travail et chemin

Attention

Dépendance et notation

Le travail d’une action dépend du chemin considéré. Il ne s’agit donc PAS de la variation d’une grandeur d’état (c’est-à-dire définie pour un état donné de position et vitesse).

Le travail correspond donc à une grandeur mathématique particulière. Le travail infinitésimal doit donc être noté \(\delta W\) (l’important c’est le \(\delta\)) et le travail sur un déplacement fini W (l’important est l’absence de \(\Delta\)).

Il est important de faire la différence avec les grandeurs d’état (comme l’énergie cinétique) dont on calcule une variation (notée avec un d ou \(\Delta\) suivant que la transformation soit infinitésimale ou finie) et les grandeurs d’échange comme le transfert d’énergie mécanique (ou travail) dont le transfert est noté avec un \(\delta\) ou rien.

Dépendance

On peut se rendre compte de cette dépendance en prenant le cas d’une action de contact sur un plan horizontal. La loi de Coulomb prévoit que la composante tangentielle est constante est toujours opposée au mouvement. Le travail d’un point A à un point B sera donc dépendant de la distance parcourue pour aller de A à B et donc du chemin parcouru.