Frottements fluides

Démontrer qu’une force de frottements fluides linéaires est nécessairement non-conservatives.

Indice: On cherchera à démontrer que le travail d’un trajet A vers B est nécessairement du même signe qu’un travail de B vers A.

Relation force-énergie

Etablir dans chaque système de coordonnées les relations entre les composantes de la force et les dérivées partielles de l’énergie potentielle.

Système conservatif

On considère un point matériel M de masse $m$ attaché au bas d’un ressort vertical de raideur k et de longueur à vide $l_0$. L’autre extrémité du ressort est attaché à un plafond fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On suppose le champ de pesanteur uniforme et on prend l’origine des altitudes ($z=0$) quand la longueur du ressort est $l_0$.

1. Déterminer l’énergie potentielle du système et montrer qu’il est conservatif en l’absence de frottements. Déduire de l’énergie potentielle la position d’équilibre et vérifier sa stabilité.

2. On lâche le mobile sans vitesse initiale de $z=0$. Déterminer les altitudes extrêmes $z_{min}$ et $z_{max}$ ainsi que la vitesse maximale du mobile.