1.1.1.6. Vecteur vitesse

1.1.1.6.1. Vecteur vitesse: Définition

Il est important de préciser le référentiel d’étude: il définit les vecteurs qu’on considère fixe. Dans un premier temps, il n’y aura qu’un seul référentiel.

Important

Vecteur vitesse

Soit O un point fixe du référentiel R et M un point mobile. La vitesse du point M dans le référentiel R est définit comme la dérivée temporelle du vecteur position dans le référentiel R.

\[ \overrightarrow{V_{M/R}} = {(\frac{d \overrightarrow{OM}}{dt})}_{R} \]

1.1.1.6.2. Expression du vecteur vitesse

Important

Expressions du vecteur vitesse

Le vecteur vitesse s’exprime.

En coordonnées cartésiennes:

\[ \overrightarrow{v_{M/\mathfrak{R}}} = \dot x \overrightarrow{e_x} + \dot y \overrightarrow{e_y} + \dot z \overrightarrow{e_z} \]

En coordonnées cyindriques:

\[ \overrightarrow{v_{M/\mathfrak{R}}} = \dot r \overrightarrow{e_r} +r \dot \theta \overrightarrow{e_\theta} + \dot z \overrightarrow{e_z} \]

En coordonnées spheriques:

\[ \overrightarrow{v_{M/\mathfrak{R}}} = \dot r \overrightarrow{e_r} + r \dot \theta \overrightarrow{e_\theta} + r \sin{\theta} \dot \varphi \overrightarrow{e_\varphi} \]

Démonstration

On peut démontrer ces expressions de deux manières: soit en dérivant le vecteur position (il faut tenir compte des dérivées des vecteurs des bases locales, nous le verrons en traitant le cas du vecteur accélération) ou en utilisant l’expression du vecteur déplacement élémentaire. Nous présentons ce dernier cas. On rappelle que le déplacement élémentaire s’exprime (respectivement en coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques):

(1.4)\[\begin{equation} \overrightarrow{dOM} = dx \overrightarrow{e_x} + dy \overrightarrow{e_y} + dz \overrightarrow{e_z} \end{equation}\]

(1.5)\[\begin{equation} \overrightarrow{dOM} = dr \overrightarrow{e_r} + r d \theta \overrightarrow{e_{\theta}} + dz \overrightarrow{e_z} \end{equation}\]

(1.6)\[\begin{equation} \overrightarrow{dOM} = dr \overrightarrow{e_r} + r d \theta \overrightarrow{e_{\theta}} + r \sin \theta d\varphi \overrightarrow{e_{\varphi}} \end{equation}\]

Ici, on rapport le déplacement élémentaire à la variation temporelle dt pendant lequel le déplacement se fait, ce qui revient à rapporter chaque différentielle (\(dx, dy, d\theta, dr...\)) par dt, c’est-à-dire les remplacer par les dérivées. On obtient bien les expressions données.