Cas du mouvement circulaire

1.1.1.8. Cas du mouvement circulaire#

1.1.1.8.1. Mouvement circulaire: Généralités#

On rappelle qu’un mouvement circulaire est un mouvement dont la trajectoire est portée par un cercle fixe dans le référentiel $R$ considéré. On notera $R_{0}$ le rayon du cercle.

Important

Système de coordonnées et expressions

Les coordonnées utiles pour un tel mouvement sont les coordonnées cylindriques d’axe Oz perpendiculaire au plan du cercle. On a alors les relations:

\begin{aligned} \vec{O M} & = R_{0} \vec{e_{r}} \\ \vec{v_{M / R}} & = R_{0} \dot{θ} \vec{e_{θ}} \\ \vec{a_{M / R}} & = - R_{0} {\dot{θ}}^{2} \vec{e_{r}} + R_{0} \ddot{θ} \vec{e_{θ}} \end{aligned}

Important

Accélération tangentielle et normale

Remarquons que la direction radiale $e_{r}$ est toujours perpendiculaire au mouvement et la direction orthoradiale $e_{θ}$ est toujours tangente au mouvement. Il vient que:

L’accélération tangentielle vaut: $\vec{a_{T}} = R_{0} \ddot{θ} \vec{e_{θ}} = \frac{d v}{d t} \vec{e_{θ}}$ où $v$ est la composante de l’accélération sur $e_{θ}$ .
L’accélération normale vaut: $\vec{a_{N}} = - R_{0} {\dot{θ}}^{2} \vec{e_{r}} = - \frac{v^{2}}{R_{0}} \vec{e_{r}}$

Important

Vecteur tournant

On définit le vecteur tournant comme: $\vec{Ω} = ω \vec{e_{z}}$

(1.7)#

\begin{aligned} \vec{v_{M / R}} & = \vec{Ω} \land \vec{O M} \\ \vec{a_{M / R}} & = \frac{d \vec{Ω}}{d t} \land \vec{O M} + \vec{Ω} \land \vec{v} \end{aligned}

Vous devez savoir prouver ces formules.

1.1.1.8.2. Cas d’un mouvement circulaire uniforme#

Important

Expressions

Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, il vient que l’accélération est purement centripète: elle est bien orthogonale au mouvement. Son expression est alors: $\vec{a_{M / R}} = - \frac{v^{2}}{R} \vec{e_{r}}$

Cas du mouvement circulaire

Contents

1.1.1.8. Cas du mouvement circulaire#

1.1.1.8.1. Mouvement circulaire: Généralités#

1.1.1.8.2. Cas d’un mouvement circulaire uniforme#