Cas du mouvement circulaire#

Mouvement circulaire: Généralités#

On rappelle qu’un mouvement circulaire est un mouvement dont la trajectoire est portée par un cercle fixe dans le référentiel \(\mathfrak{R}\) considéré. On notera \(R_0\) le rayon du cercle.

Important

Système de coordonnées et expressions

Les coordonnées utiles pour un tel mouvement sont les coordonnées cylindriques d’axe Oz perpendiculaire au plan du cercle. On a alors les relations:

\[\begin{align*} \overrightarrow{OM} &= R_0 \overrightarrow{e_r}\\ \overrightarrow{v_{M/\mathfrak{R}}} &= R_0 \dot \theta \overrightarrow{e_{\theta}}\\ \overrightarrow{a_{M/\mathfrak{R}}} &= - R_0 \dot \theta ^2 \overrightarrow{e_r} + R_0 \ddot \theta \overrightarrow{e_{\theta}} \end{align*}\]

Important

Accélération tangentielle et normale

Remarquons que la direction radiale \(e_{r}\) est toujours perpendiculaire au mouvement et la direction orthoradiale \(e_{\theta}\) est toujours tangente au mouvement. Il vient que:

  • L’accélération tangentielle vaut: \(\overrightarrow{a_T} = R_0 \ddot \theta \overrightarrow{e_{\theta}} = \frac{dv}{dt} \overrightarrow{e_\theta}\) où \(v\) est la composante de l’accélération sur \(e_{\theta}\).

  • L’accélération normale vaut: \(\overrightarrow{a_N} = -R_0 \dot \theta^2 \overrightarrow{e_r} = - \frac{v^2}{R_0} \overrightarrow{e_r}\)

Important

Vecteur tournant

On définit le vecteur tournant comme: \(\overrightarrow{\Omega} = \omega \overrightarrow{e_z}\)

(5)#\[\begin{align} \overrightarrow{v_{M/R}} &= \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{OM}\\ \overrightarrow{a_{M/R}} &= \frac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt} \wedge \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{v} \end{align}\]

Vous devez savoir prouver ces formules.

Cas d’un mouvement circulaire uniforme#

Important

Expressions

Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, il vient que l’accélération est purement centripète: elle est bien orthogonale au mouvement. Son expression est alors: \(\overrightarrow{a_{M/\mathfrak{R}}} = - \frac{v^2}{R} \overrightarrow{e_r}\)