Entrainement : Régimes de fonctionnements

Circuits d’ordre 1

Circuit d’ordre 1

1. Calculer i, l’intensité qui circule dans la bobine. On donne $i(t=0)=0$.

2. En déduire $i_1$ et $u_1$ (tension aux bornes de $R_1$ et courant circulant dans $R_1$).

3. Tracer i et $i_1$ en fonction du temps.

Point utile pour cet exercice

• $⟹$ Conditions initiales.

• $⟹$ Mise en équation.

Eléments de réponse (sans justification)

$i(t)=\frac{R_1}{R_1+R}\eta (1-e^{-\frac{(R_1+R)t}{L}})$

Deux condensateurs

On considère le circuit électrique de la figure ci-après. A t=0, $q_1=Q_1$ et $q_2=0$. Donner l’évolution ultérieure (tensions et intensité) et faire un bilan énergétique.

Point utile pour cet exercice

• $⟹$ Conditions initiales.

• $⟹$ Mise en équation.

Eléments de réponse (sans justification)

$q_1(t)=Q_1\frac{C_1}{C_1+C_2}+Q_1\frac{C_2}{C_1+C_2}{e}^{-\frac{(C_1+C_2)t}{R{C}_1{C}_2}}$

L’énergie stockée dans les deux condensateurs a globalement diminuée: elle correspond à l’énergie dissipée dans la résistance.

Circuit soumis à une rampe.

On branche en parallèle une bobine d’inductance $L=10\mathrm{m}\mathrm{H}$ (non parcourue par un courant avant t=0), une résistance $R=1\mathrm{k}\mathrm{\Omega }$ et un générateur idéal de courant qui fournit une rampe de courant $\eta$ de pente $\lambda$ en partant de 0A et jusqu’à un courant $I_0=1\mathrm{A}$ (atteint pour un temps $t_0$) puis reste constant.

1. Établir l’équation d’évolution de $i(t)$ le courant qui traverse la bobine quand le générateur débite une rampe de courant. Que vaut $i(0^{+})$?

2. Pour $t<t_0$, chercher une solution particulière sous la forme $i_O(t)=\alpha t+\beta$. En déduire $i(t)$ pour $t<t_0$ de l’équation.

3. Calculer $t_0$ en fonction de $\lambda$ et $I_0$. Discuter suivant les valeur de $\lambda$ et $I_0$ les parts relatives données au régime transitoire et au régime “permanent” — on définira ces deux régimes.

4. On prend $\lambda =1\mathrm{A}.{\mathrm{s}}^{-1}$, quelle approximation peut-on faire? Que vaut $i(t_0)$? En déduire l’évolution de $i(t)$ après $t=t_0$.

5. Calculer l’énergie délivrée par le générateur pendant les deux périodes $[0;t_0]$ et $[t_0;+\mathrm{\infty }]$. La comparer avec l’énergie délivrée par un générateur délivrant un échelon de courant $I_0$ branché en parallèle à R et L. Commenter.

Point utile pour cet exercice

• $⟹$ Conditions initiales.

• $⟹$ Mise en équation.

Eléments de réponse (sans justification)

Toutes les intensités sont orientées vers le bas.

1. $\frac{\mathrm{d}\mathrm{i}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}(t)+\frac{R}{L}i(t)=\frac{R}{L}\eta (t)$.

2. $i(t)=\lambda (t-\tau )+\lambda \tau e^{-t/tau}$ _(On pose $i(t)=\alpha t+\beta$ puis on introduit cette forme dans l’équation différentielle ce qui donne $\alpha t+(\alpha +\beta /\tau )=\lambda t$ soit par identification $\alpha =\lambda$ et $beta=-\lambda \tau$).

3. On doit comparer $t_0$ à $\tau$. si $t_0\ll \tau$, l’exponentielle est devient presque négligeable et en $t=t_0$, il ne reste que le régime forcé $\lambda (t-\tau )$. Sinon, le régime transitoire représenté par l’exponentielle n’es tpas négligeable. $\lambda t_0=I_0$.

4. On peut considérer l’exponentielle négligeable dans la condition initiale en $t=t_0$. $i(t>0)\approx I_0-\lambda \tau e^{\frac{t_0-t}{\tau }}$ car la solution générale de l’équation avec second member est $I_0+A{e}^{-t/\tau }$ et la condition initiale $i(t_0)\approx \lambda (t-\tau )$ donne le résultat précédent. Note : on pourrait presque considérer que $i(t=t_0)\approx I_0$ et alors l’intensité reste constante pour $t>t_0$.

5. L’énergie trouvée est deux fois moins importante:

$$\begin{array}{rl}E& ={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\eta (t)u(t)dt\\ & ={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}L\eta (t)\frac{\mathrm{d}\mathrm{i}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}(t)dt\\ & ={\int }_0^{t_0}L\lambda t(\lambda -\tau \lambda \tau e^{-t/\tau })dt+{\int }_{t_0}^{+\mathrm{\infty }}L{I}_0\frac{\mathrm{d}\mathrm{i}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}(t)dt\\ & \approx \frac{1}{2}L{I}_0^2+L{I}_0(i(+\mathrm{\infty })-i(t_0))\\ & \approx \frac{1}{2}L{I}_0^2\end{array}$$

L’exponentielle dans la première intégrale donne une valeur négligeable et $i(+\mathrm{\infty })-i(t_0)\approx 0$.

Circuits d’ordre 2

Oscillateur faiblement amorti

On considère un circuit RLC série en régime libre. A $t=0$, l’intensité circulant dans le circuit est $I_0$ et la tension aux bornes du condensateur et nulle.

On suppose de plus que $RC\ll \frac{L}{R}$.

1. Préciser le type de régime pour le système.

2. Dans l’approximation proposée, simplifier l’expression de la pseudo-pulsation.

3. Comparer le temps caractéristique du réigme transitoire et la pseudo-période du signal. En déduire l’allure graphique de q(t).

4. Déterminer l’expression complète de q(t).

Point utile pour cet exercice

• $⟹$ Conditions initiales.

• $⟹$ Mise en équation.

Eléménts de réponse (sans justification)

C’est un régime pseudo-périodique et la pseudo-pulsation est à peu près égale à la pulsation propre. Le temps caractéristique $\frac{2Q}{{\omega }_0}$ est donc grand devant la pseudo-période (Q grand) donc on observe de nombreuses oscillations et une enveloppe exponentielle qui décroit lentement.

Protection d’un interrupteur

Dans le circuit ci-dessous, l’interrupteur K est fermé et à t=0, on l’ouvre.

1. Expliciter la tension $u(t)$ aux bornes de K dans le cas où $L/R>>RC$.

2. On donne $L=10\mathrm{m}\mathrm{H},\mathrm{E}=5\mathrm{V},\mathrm{R}=50\mathrm{\Omega }$. Évaluer la valeur maximale de $u(t)$ en l’absence du condensateur (l’interrupteur a alors une propre capacité de 10pF). On attend de l’initiative dans les calculs.

3. Justifier l’emploi d’un condensateur. Déterminer la valeur de celui-ci pour limiter la valeur maximale de $u(t)$ à 500V.

Point utile pour cet exercice

• $⟹$ Conditions initiales.

• $⟹$ Mise en équation.

Eléments de réponse (sans justification)

• $u(t)\approx e^{\frac{-{\omega }_{0}t}{2Q}}(-E\cos ({\omega }_{0}t)+QE\sin {\omega }_{0}t)+E$ (à fort facteur de qualité, on doit trouver que la pseudo-pulsation égale la pulsation propre en première approximation).

• $u_{max}\approx QE$ La tension obtenue est très grande: risque d’arc électrique. Le condensateur en parallèle augmente la valeur de C et diminue la surtension.