Applications#

Autour du temps caractéristique#

Interprétation d’un temps caractéristique

On considère le signal ci-après.

\[ e_m \exp (- t / \tau) \]

  1. D’après vos connaissances de terminales, quel est le temps caractéristiques ?

  2. Déterminer le temps de réponse à N%. L’exprimer pour N=95 puis pour N=99 et montrer qu’ils sont proportionnels âu temps caractéristiques. Retrouver ainsi une interprétation de ce dernier.

Régime apériodique

On considère le signal suivant:

\[ 2 * e_m \exp(-\frac{2t}{T}) - 4 * e_m \exp(-\frac{5t}{T}) + 3 e_m \]

En comparant les temps caractéristiques des deux exponentielles, déterminer une estimation du temps caractéristique su signal total après avoir préciser l’état final.

Homogénéité

Montrer que les grandeurs RC et L/R sont homogènes à des temps et que la grandeur LC est homogène à un temps au carré.

Conditions initiales et régime permanent#

Exercice

On considère le circuit suivant, l’interrupteur est fermé depuis un temps long. A \(t=0\), on ouvre l’interrupteur.

../_images/elec_app_ci_rp.png

  1. Déterminer le régime permanent pour \( t < 0\).

  2. Déterminer le régime permanent atteint pour \(t \to \infty\).

  3. Déterminer les conditions initiales à \(t=0^+\)

On déterminera toutes les intensités et les tensions.

Eléments de réponse (sans justification)

Toutes les intensités sont orientées vers le bas.

  1. \(i_L = -i_E = \frac{E}{R}\) et \(i_C = 0\). Les tensions sont toutes nulles sauf pour la résistance de gauche (elle vaut E).

  2. Toutes les intensités sont nulles ainsi que toutes les tensions sauf la tension aux bornes de l’interrupteur qui vaut E.

  3. \(i_L = - i_C = \frac{E}{R}\) et \(i_E = 0\). \(u_C = 0\) et \(u_L = u_R = E\) (à orienter correctement).

Point utile pour cet exercice

Circuits d’ordre 1 et 2#

Circuit RL

On considère le circuit ci-après. L’interrupteur est depuis un temps long fermé. A \(t=0\), il s’ouvre.

../_images/elec_ex_ap_rl.png

  1. Déterminer l’intensité circulant dans la bobine à \(t=0\).

  2. Déterminer l’équation différentielle qui régit l’évolution de la bobine.

  3. Déterminer \(i(t)\) pour \(t > 0\)

  4. Tracer l’évolution temporelle de \(i(t)\) et le portrait de de la bobine \((i(t); \frac{\rm{d}i}{\rm{dt}})\).

  5. Déterminer l’énergie perdue par la bobine de \(t=0\) à \(t= + \infty\) et l’énergie perdue par effet Joule dans la résistance. Commenter.

Eléments de réponse

\(\tau = \frac{L}{R}\)

Circuit RL bis

On considère le même circuit. L’interrupteur est depuis un temps long ouvert. A \(t=0\), il se ferme.

  1. Déterminer l’intensité circulant dans la bobine à \(t=0\).

  2. Déterminer l’équation différentielle qui régit l’évolution de la bobine.

  3. Déterminer \(i(t)\) pour \(t > 0\)

  4. Tracer l’évolution temporelle de \(i(t)\) et le portrait de de la bobine \((i(t); \frac{\rm{d}i}{\rm{dt}})\).

  5. Déterminer l’énergie perdue par la bobine de \(t=0\) à \(t= + \infty\) et l’énergie perdue par effet Joule dans la résistance ainsi que l’énergie fournie par la source idéale de courant. Commenter.

Cas extrêmes

On considère un circuit RLC série. Déterminer les intervalles de valeurs de R permettant d’observer un régime apériodique. un régime critique. un régime pseudo-périodique.

  • Quel régime observe-t-on si \(RC \gg L/R\)?

  • Quel régime observe-t-on si \(RC \ll L/R\)?

Etude graphique

Pour les graphiques ci-dessous, déterminer:

  1. si le régime est pseudo-périodique ou apériodique/critique

  2. si le système est stable

  3. le nouveau régime permanent établi lorsqu’il existe

../_images/elec_ex_ap_graphique.png

Décrément logarirthmique

  • Question préliminaire. Montrer que (n est une entier):

\[ \delta = \frac{1}{n}\ln \left( \frac{u(t)}{u(t+nT)}\right) \]

  • Mesurer pour le signal \(u(t)\) ci-dessous les valeurs successives des maxima (au moins 6)

  • En déduire des valeurs de \(\delta\) pour n allant de 1 à 6 puis une valeur moyenne de \(\delta\).

Remarque: En séance de travaux pratiques, on réalisera plutôt une régression linéaire car les différentes mesures de delta dépendent l’une de l’autre.

../_images/elec_ex_ap_decrement.png

RLC parallèle

On considère une résistance R, une inductance L et un condensateur C branchés en parallèle.

  1. Déterminer le facteur de qualité et la pulsation propre du circuit. Les comparer au cas du RLC série.

  2. A quelle condition sur R,L et C observe-t-on un régime pseudo-périodique. Donner alors l’expression générale de l’intensité circulant dans la résistance sans calculer les constantes d’intégration.

  3. Vers quoi doit tendre la valeur de R pour qu’on obtienne un oscillateur harmonique ? Commenter.

  4. On branche en parallèle de R une source idéale de courant de cem \(\eta\). A \(t=0\), l’intensité dans la bobine est nulle et la tension aux bornes de C est nulle aussi. Déterminer \(i(t)\) l’intensité circulant dans la résistance en régime apériodique.