Caractéristiques d’un système d’ordre 1

Dans cette partie et la partie suivante, les résultats sont données mais il faut savoir systématiquement les démontrer avant de les utiliser. Un exemple complete d’étude est donné ici

Forme canonique

Important

Forme canonique de l’équation différentielle. Pour une grandeur dans un système d’ordre 1, l’équation différentielle se met sous la forme canonique suivante:

$$\frac{\mathrm{d}\mathrm{X}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}(t)+\frac{1}{\tau }X(t)=F(t)$$

Comme on le verra, $\tau$ est le temps caractéristique du système.

Evolution temporelle

Important

Forme temporelle La solution générale de l’équation homogène a pour forme $A{e}^{-t/\tau }$ On rappelle qu’il faut ensuite déterminer la solution particulière qui va dépendre de la tension en entrée.

Important

Temps caractéristique d’un système d’ordre 1 La forme générale de la solution de l’équation homogène montre tout de suite que $\tau$ est le temps caractéristique du système.

Important

Evolution temporelle: tracé On a représenté ci-dessous l’évolution temporelle (t>0) vers un régime forcé indépendant du temps ainsi que le portrait de phase. On peut en tirer plusieurs informations

Ce sont deux méthodes de mesure de $\tau$.

Le temps caractéristique fait office de facteur d’échelle comme on peut le voir. On peut le mesurer de deux manières:

• A $t=\tau$, l’écart entre X(t) et l’état final ($X(t=+\mathrm{\infty })$) vaut 37% de l’écart entre $X(t=0^{+})$ et l’état final.

• Si l’on trace la tangeante à X(t) à un instante $t_1$. Son intersection avec l’asymptote horizontale à $+\mathrm{\infty }$ (donc avec la droite $y=X(+\mathrm{\infty })$ se fait à l’instant $t_1+\tau$.

Etude énergétique

Nous ne généralisons pas les conclusions obtenues ici mais présentons une méthode permettant de réaliser un bilan de puissance et un bilan d’énergie ici.