Cas passe-bande

Exercice

1. On considère le circuit RLC série. Déterminer l’expression de la représentation complexe \(\underline{i}\) de l’intensité circulant dans le circuit.

2. Déterminer par une étude haute et basse fréquence la forme canonique compatible puis mettre \(\underline{i}\) sous cette forme. On déterminera la pulsation \(\omega_0\) et le facteur de qualité Q.

3. En déduire l’expression de l’amplitude réelle et du déphasage entre \(i\) et e en fonction de \(Q, \omega_0, R\) et \(e_m\).

4. Montrer que l’amplitude réelle passe par un extremum. On parle de résonance. Déterminer alors la pulsation de résonance, c’est-à-dire la pulsation pour laquelle l’amplitude réelle est maximale ainsi que l’amplitude maximale \(i_{\max}\).

5. Déterminer la bande passante, c’est-à-dire la gamme de fréquence/pulsation pour laquelle l’amplitude réelle est supérieure à \(\frac{i_{\max}}{\sqrt{2}}\). On calculera aussi la largeur de la bande passante.

6. Représenter l’amplitude réelle en fonction de la fréquence pour différentes valeurs de Q.

7. Déterminer les valeurs du déphasage à haute et basse fréquence et représentation le daphasage en fonction de la fréquence.

Important

Bilan : A retenir

On retiendra:

• les caractéristiques hautes et basses fréquences nécessaires et la forme canonique associées lorsque le système est d’ordre 2.

• la forme générale de la réponse fréquentielle (allure en fonction de la fréquence) en amplitude réelle et en déphasage.

• l’existence d’une résonance, c’est-à-dire d’un maximum d’amplitude en fonction de la fréquence/pulsation dont la pulsation de résonance est toujours \(\omega_0\).

• La largeur de la bande passante est \(\Delta \omega = \frac{\omega_0}{Q}\).