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Travaux dirigés

Antirésonance

Exercice

On considère un dipôle RLC série alimenté par une tension sinusoïdale. On s’intéresse à la tension u aux borne de l’ensemble L+C en régime sinusoïdal forcé.

1. Déterminer l’amplitude complexe de u puis son amplitude réelle. En déduire la valeur maximale de l’amplitude réelle $u_{max}$.

2. Montrer que l’amplitude s’annule pour une pulsation qu’on déterminera. On parle d’antirésonance.

3. On définit la bande coupée comme la bande de fréquence pour laquelle l’amplitude réelle $u_m(\omega )$ soit telle que $u_m(\omega )\le \frac{u_{max}}{\sqrt{2}}$. Préciser sa largeur.

Eléments de réponse (sans justification)

$\underset{―}{u}=\frac{1-x^2}{1-x^2+j\frac{x}{Q}}E$ avec $x=\frac{\omega }{{\omega }_0}$, ${\omega }_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}$ et $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$.

L’amplitude de u est maximale aux fréquences extrêmes et s’annule à la pulsation propre. La largeur de la bande coupée est $\frac{{\omega }_0}{Q}$.

Circuits couplées

Exercice

On considère le circuit ci-dessous. Les deux bobines sont sous influence mutuelle, c’est-à-dire qu’à la tension habituelle d’une bobine s’ajoute pour la bobine du circuit $\alpha (\alpha \in \{1,2\})$, une tension $M\frac{\mathrm{d}{\mathrm{i}}_{\beta }}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ avec $\beta \in \{2,1\}$

On supposera de plus que les composants sont égaux deux à deux. Déterminer en régime sinusoïdal forcé les représentations complexes des courants circulant dans chaque circuit puis les charges aux armatures des condensateurs.

Eléments de réponse (sans justification)

$\underset{―}{i_1}=\frac{(\frac{1}{jC\omega }+R+jL\omega )E}{{(\frac{1}{jC\omega }+R+jL\omega )}^2-{(jM\omega )}^2}$

$\underset{―}{i_1}=\frac{jM\omega E}{{(\frac{1}{jC\omega }+R+jL\omega )}^2-{(jM\omega )}^2}$

Les charges s’obtiennent en divisant par $j\omega$: s’entrainer à simplifier ces diverses expressions.

Adaptation d’impédance

Exercice

On considère le circuit ci-dessous. On veut que le dipôle composé des composants L, C variables et $R_u$ fixée soit équivalent à une résistance pure $R_g$ fixée.

1. Déterminer suivant les valeurs relatives de $R_u$ et $R_g$ le circuit permettant cette réalisation et les valeurs de L et C à choisir.

2. Déterminer dans les conditions précédentes la puissance instantanée puis la puissance moyenne reçue par le dipôle équivalent.

Eléments de réponse (sans justification)

Circuit 1 si $R_u>R_g$. Il faut que $L=\frac{R_u}{\omega }\sqrt{\frac{R_g}{R_u-R_g}}$ et $C=\frac{1}{\omega R_g}\sqrt{\frac{R_g}{R_u-R_g}}$

Circuit 2 si $R_u<R_g$. Il faut que $L=\frac{R_g}{\omega }\sqrt{\frac{R_u}{R_g-R_u}}$ et $C=\frac{1}{\omega R_u}\sqrt{\frac{R_u}{R_g-R_u}}$

Dans les deux cas, la puissance moyenne reçue est $\frac{E^2}{8R_g}$

Détection

Exercice

On considère un circuit constitué d’une résistance R en série avec un condensateur C. L’ensemble est reliée à une source de tension $e(t)$ fournissant une tension: $e(t)=e_m\sin {\omega }_{1}t\sin {\omega }_{2}t$ avec ${\omega }_1=1.01{\omega }_2=\frac{50}{RC}$.

Déterminer la tension aux bornes du condensateur en régime forcé. Simplifier l’expression par approximation en utilisant les ordres de grandeurs des pulsations mises en jeu.

Eléments de réponse (sans justification)

$u(t)=\frac{e_m}{2}(\frac{1}{\sqrt{1+{100.5}^2}}\cos (2.01{\omega }_{2}t-arctan(100.5))-\frac{1}{\sqrt{1+{0.5}^2}}\cos (0.01{\omega }_{2}t-arctan(0.5)))$

$u(t)\approx \frac{e_m}{2}\cos (0.01{\omega }_{2}t)$

Système actif.

Exercice

On considère le circuit ci-dessous. L’amplificateur linéaire intégré est supposé idéal fonctionnant en régime linéaire. Dans ces conditions, les courants entrant aux bornes + et - de l’amplificateur linéaire intégré sont nuls et la différence de potentiel $ϵ=V_{+}-V_{-}=0$.

1. Déterminer par une étude rapide les comportements haute et basse fréquence du système pour la tension s.

2. Déterminer la tension s en régime sinusoïdal forcé et faire son étude fréquentielle (amplitude réelle et déphasage avec l’entrée). On pensera à vérifier la cohérence avec l’étude rapide précédente et à mettre la représentation complexe de s sous forme canonique.

Eléments de réponse (sans justification)

s et nulle à haute et basse fréquence.

$\underset{―}{s}=\frac{-\frac{\underset{―}{e}}{2}}{1jQ(x-\frac{1}{x})}$ avec $x=\frac{\omega }{{\omega }_0}$, ${\omega }_0=\frac{\sqrt{2}}{RC}$ et $Q=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Il faut ensuite passer en réel pour répondre à la question.

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