Temps caractéristique d’un système d’ordre 2¶
Exercice
On considère un système d’ordre 2 de facteur de qualité Q et de pulsation propre \(\omega_0\).
A quelle condition sur Q est-on en régime apériodique. Estimer la temps caractéristique de la durée du régime transitoire en fonction de Q et \(\omega_0\). Interprêter l’évolution de ce temps caractéristique en fonction de Q.
A quelle condition sur Q est-on en régime critique. Estimer la temps caractéristique de la durée du régime transitoire en fonction de Q et \(\omega_0\).
A quelle condition sur Q est-on en régime pseudo-périodique. Estimer la temps caractéristique de la durée du régime transitoire en fonction de Q et \(\omega_0\). Interprêter l’évolution de ce temps caractéristique en fonction de Q.
Tracer l’évolution du temps caractéristique en fonction de Q et retrouver le fait que le régime critique est le plus rapide.
Commenter le rôle de \(\omega_0\).
Correction
Système rapide et régime critique
Pour obtenir un système rapide, il faut se placer dans un régime proche du régime critique, soit avoir un facteur de qualité proche de 1/2.
Il s’agit là d’une première inerprétation du facteur de qualité: on donnant une information sur l’intensité de l’amortissement, il donne aussi une idée sur la rapidité du système.
Lorsque le facteur de qualité est faible, l’amortissement est fort et l’intensité électrique (ou la vitesse en mécanique) est faible: les pertes, proportionnelles à \(i^2\) sont donc faible et le système s’amortit lentement.
Lorsque le facteur de qualité est fort, l’amortissement est faible et le système va donc s’amortir lentement.
C’est pour une valeur entre les deux (autour du régime critique) que le système sera le plus rapide.
Important
Fondamental : Loi d’échelle
Quelque soit la valeur de Q, le temps caractéristique est toujours proportionnel à \(\frac{1}{\omega_0}\). La pulsation propre est donc un facteur d’échelle pour la rapidité du système. Plus la pulsation propre est grande, plus le système va réagir vite.
Comme nous le verrons avec l’étude fréquentielle, ce facteur d’échelle est très important aussi lorsqu’il s’agit d’étudier le comportement du système forcé par une entrée sinusoïdale.