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Contents

Caractéristiques générales

Bande passante et fréquence de coupure

Important

Définition : Bande passante

La bande passante d’un filtre est l’intervalle de fréquence pour lesquelles le gain réel est supérieur au gain maximal divisé par $\sqrt{2}$.

Important

Définition : Fréquence de coupure

Les fréquences de coupure sont les fréquences telles que le gain réel soit égal au gain maximal divisé par $\sqrt{2}$.

En général, on choisit la bande passante comme la bande de fréquence qu’on désire conserver (ou pour fixer la bande filtrée). Mais les filtres n’est pas idéal (la chute du gain n’est pas brutal à la fréquence de coupure), il est souvent nécessaire de garder une marge.

Caractère pseudo-dérivateur et pseudo-intégrateur

Comportement dérivateur

Important

Fondamental : Comportement dérivateur

Un système dérivateur est un système dont la relation temporelle s’écrit $s(t)=\frac{K}{{\omega }_0}\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}(t)$. La fonction de transfert d’un tel système s’écrit: $\underset{―}{H}=jK\frac{\omega }{{\omega }_0}$.

En pratique, on ne peut réaliser un dérivateur pur stable (à cause des hautes fréquences). On réalise donc un circuit possèdant un comportement dérivateur, c’est-à-dire que la fonction de transfert sera égale (approximativement)à celle d’un dérivateur sur une gamme de fréquence (les basses fréquences). On parle de pseudo-dérivateur.

Exercice Exemple de filtre pseudo-dérivateur

Considérons un filtre dont la fonction de transfert est $\underset{―}{H}=\frac{j\frac{\omega }{{\omega }_0}}{1+j\frac{\omega }{{\omega }_0}}$. A basse fréquence ($\omega \ll {\omega }_0$), la fonction de transfert devient $\underset{―}{H}\approx j\frac{\omega }{{\omega }_0}$ soit une relation temporelle de type dérivateur.

Important

Fondamental : Asymptote sur un diagramme de Bode

Un comportement pseudo dérivateur se traduit sur un diagramme de Bode par une asymptote oblique de pente $+20\mathrm{d}\mathrm{B}/\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}$

Démonstration
Il suffit de prendre le gain réel puis le gain en décibel de la fonction de transfert approchée $\underset{―}{H}\approx jK\frac{\omega }{{\omega }_0}$ soit $G_{dB}\approx 20\log \frac{K}{{\omega }_0}+20\log \omega$.

N dérivation
On pourra généraliser cette étude à une double dérivation et lui associer une asymptote de +40dB/decade sur un diagramme de Bode.

Comportement intégrateur

Important

Fondamental : Comportement intégrateur

Un système intégrateur est un système dont la relation temporelle s’écrit $s(t)=K{\omega }_0\int e(t)$. La fonction de transfert d’un tel système s’écrit: $\underset{―}{H}=\frac{K}{j\omega /{\omega }_0}$.

En pratique, on ne peut réaliser un intégrateur pur stable (à cause des basses fréquences). On réalise donc un circuit possèdant un comportement intégrateur, c’est-à-dire que la fonction de transfert sera égale (approximativement)à celle d’un intégrateur sur une gamme de fréquence (les hautes fréquences). On parle de pseudo-intégrateur.

Exercice Exemple de filtre pseudo-intégrateur

Considérons un filtre dont la fonction de transfert est $\underset{―}{H}=\frac{1}{1+j\frac{\omega }{{\omega }_0}}$. A haute fréquence ($\omega \gg {\omega }_0$), la fonction de transfert devient $\underset{―}{H}\approx \frac{1}{j\frac{\omega }{{\omega }_0}}$ soit une relation temporelle de type intégrateur.

Important

Fondamental : Asymptote sur un diagramme de Bode

Un comportement pseudo intégrateur se traduit sur un diagramme de Bode par une asymptote oblique de pente $-20\mathrm{d}\mathrm{B}/\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}$

Démonstration
Il suffit de prendre le gain réel puis le gain en décibel de la fonction de transfert approchée $\underset{―}{H}\approx \frac{K}{j\omega /{\omega }_0}$ soit $G_{dB}\approx 20\log K{\omega }_0-20\log \omega$.

N intégration
On pourra généraliser cette étude à une double intégration et lui associer une asymptote de pente -40dB/decade sur un diagramme de Bode.

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Réponse d’un filtre linéaire

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Typologie des filtres