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Activités d’application

Ces exercices d’application directe sont à faire à la suite du cours pour vérifier votre compréhension des méthodes. Vous pourrez confronter votre travail avec celui de vos camarades et poser des questions sur cet exercice en classe mais il ne sera pas donné de correction complète.

Manipulation des complexes

Exercice

Déterminer le module et la phase à l’origine des grandeurs réelles associées aux représentations complexes suivantes puis tracer leur représentation de Fresnel. (Les grandeurs non soulignées sont des réels positifs.)

\[\begin{align*} \underline{s} &= \frac{1 - j RC \omega}{1 + j RC \omega} e_m\\ \underline{s} &= \frac{1}{1 - LC \omega^2} e_m e^{-j \pi / 3}\\ \underline{s} &= \frac{- LC \omega^2}{1 - LC \omega^2 + j RC \omega} e_m\\ \underline{s} &= \frac{- K}{1 + j RC \omega} e_m\\ \underline{s} &= j RC \omega e_m e^{j \varphi}\\ \underline{s} &= \frac{1 + j RC \omega}{1 - {(RC\omega)}^2 + j RC \omega} e_m \end{align*}\]

Modélisation d’une impédance

Exercice

On considère un dipôle dont l’impédance se met sous la forme \(\underline{Z} = R + j X\) avec R et X réels.

1. Montrer que si X est positif, le dipôle peut être modélisé par une inductance en série avec une résistance donc on exprimera les valeurs en fonction de R, X et \(\omega.\)

2. Montrer que si X est négatif, le dipôle peut être modélisé par un condensateur en parallèle avec une résistance donc on exprimera les valeurs en fonction de R, X et \(\omega.\)

Eléments de réponse (sans justification)

• Si X est positif, \(R_{eq} = R\) et \(L_{eq} = X / \omega\)

• Si X est négatif, \(R_{eq} = R + \frac{X^2}{R}\) et \(C_{eq} = -\frac{1}{\omega}\frac{X}{R^2 + X^2}\)

Passage fréquentiel-temporel

Exercice

A partir des équations différentielles ci-dessous, exprimer la représentation complexe \(\underline{s}\) dans un régime sinusoïdal forcé à la pulsation \(\omega\).

\[\begin{align*} \frac{\rm{d^2}s}{\rm{dt^2}} + \frac{3R}{L} \frac{\rm{d}s}{\rm{dt}} + \frac{4}{{(RC)}^2} s &= 2 RC \frac{\rm{d}e}{\rm{dt}}\\ 4LC \frac{\rm{d^2}s}{\rm{dt^2}} + 2 RC \frac{\rm{d}s}{\rm{dt}} + K s &= K' e\\ 4LC \frac{\rm{d^2}s}{\rm{dt^2}} + 2 \frac{L}{R} \frac{\rm{d}s}{\rm{dt}} + K s &= K' LC \frac{\rm{d^2}e}{\rm{dt^2}} \end{align*}\]

Eléments de réponse (sans justification)

\[\begin{align*} \left(-\omega^2 + 3j \frac{R}{L}\omega + \frac{4}{{\left(RC\right)}^2}\right) \underline{s}&= 2j RC \omega \underline{e}\\ \left(-4LC\omega^2 + 2jRC \omega + K\right) \underline{s}&= K' \underline{e}\\ \left(-4LC\omega^2 + 2j\frac{L}{R} \omega + K\right) \underline{s}&= -\omega^2 K'LC \underline{e} \end{align*}\]

Exercice

Déduire des équations ci-dessous les équations différentielles qui relient s et e. Discuter alors de la stabilité de chaque système

\[\begin{align*} \frac{\underline{s}}{\underline{e}} &= \frac{1 + jRC \omega}{1 - {(RC\omega)}^2 + 3 RC \omega}\\ \frac{\underline{s}}{\underline{e}} &= \frac{- {(RC \omega)}^2}{1 - LC\omega^2 + j RC \omega}\\ \frac{\underline{s}}{\underline{e}} &= \frac{{(RC \omega)}^2}{1 - LC\omega^2 - j RC \omega}\\ \frac{\underline{s}}{\underline{e}} &= \frac{K}{1 - 3j RC \omega}\\ \frac{\underline{s}}{\underline{e}} &= \frac{KjRC \omega}{1 + 3j RC \omega} \end{align*}\]

Eléments de réponse (sans justification)

La première fraction n’est pas assimilable à un système linéaire réel, elle ne le serait que s’il y avait un j dans le troisième terme du dénominateur: \(3jRC \omega\), l’équation temporelle serait alors:

\[\begin{align*} LC \frac{\rm{d^2}s}{\rm{dt^2}} + RC \frac{\rm{d}s}{\rm{dt}} + s &= e + RC \frac{\rm{d}e}{\rm{dt}}\\ LC \frac{\rm{d^2}s}{\rm{dt^2}} + RC \frac{\rm{d}s}{\rm{dt}} + s &= \frac{\rm{d^2}e}{\rm{dt^2}}\\ LC \frac{\rm{d^2}s}{\rm{dt^2}} - RC \frac{\rm{d}s}{\rm{dt}} + s &= -\frac{\rm{d^2}e}{\rm{dt^2}}\\ -3 RC \frac{\rm{d}s}{\rm{dt}} + s &= Ke \textrm{ On notera qu'il s'agit d'un système instable.}\\ 3 RC \frac{\rm{d}s}{\rm{dt}} + s &= K RC \frac{\rm{d}e}{\rm{dt}} \end{align*}\]

Exemple d’étude d’une réponse

Exercice

On considère un dipôle constitué d’une résistance R et d’une bobine d’inductance L en série. Il est branchée aux bornes d’une tension d’entrée e. Exprimer la tension aux bornes de la bobine en régime forcé lorsque la tension d’entrée est:

\begin{enumerate}

• \(e(t) = e_1 \cos{\omega_1 t} + e_2 \cos{(\omega_2 t + \varphi)} \)

• \(e(t) = e_1 \sin{\omega_1 t} + e_2 \sin{(\omega_2 t + \varphi)} \)

On devra mélanger deux méthodes: l’utilisation des complexes déterminer le régime sinusoïdal forcé puis en déduire la réponse complète en utilisant la linéarité du système.

Pour le cas des sinusoïdes, pensez qu’on peut prendre la partie imaginaire pour avoir une méthode simple d’étude.

Eléments de réponse (sans justification)

\(s(t) = \frac{\frac{\omega_1}{\omega_0}e_1}{\sqrt{1 + {\left ( \frac{\omega_1}{\omega_0}\right )}^2}} \cos {\left ( \omega_1 t - \arctan \frac{\omega_1}{\omega_0} + \frac{\pi}{2}\right )} + \frac{\frac{\omega_2}{\omega_0}e_1}{\sqrt{1 + {\left ( \frac{\omega_2}{\omega_0}\right )}^2}} \cos {\left ( \omega_2 t - \arctan \frac{\omega_2}{\omega_0} + \frac{\pi}{2} + \varphi\right )}\)

\(s(t) = \frac{\frac{\omega_1}{\omega_0}e_1}{\sqrt{1 + {\left ( \frac{\omega_1}{\omega_0}\right )}^2}} \sin {\left ( \omega_1 t - \arctan \frac{\omega_1}{\omega_0} + \frac{\pi}{2}\right )} + \frac{\frac{\omega_2}{\omega_0}e_1}{\sqrt{1 + {\left ( \frac{\omega_2}{\omega_0}\right )}^2}} \sin {\left ( \omega_2 t - \arctan \frac{\omega_2}{\omega_0} + \frac{\pi}{2} + \varphi\right )}\)

avec \(\omega_0 = \frac{R}{L}\)

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