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Contents

Typologie des filtres

Filtre passe-bas d’ordre 1

Important

Fondamental : Forme canonique

Un filtre passe bas d’ordre 1 peut se mettre sous la forme:

$$\begin{array}{r}\underset{―}{H}=\frac{H_0}{1+jx}\end{array}$$

avec la pulsation réduite $x=\frac{\omega }{{\omega }_0}$ et la pulsation propre ${\omega }_0$.

Caractéristiques
Les caractéristiques que vous devez savoir calculer/prouver sont:

• ses limites haute et basse fréquence qui permettent de reconnaître un tel filtre: la limite HF est nulle et la limite BF est non nulle.

• l’expression de son gain réel, de son gain en décibel et de sa phase

• le gain réel est strictement décroissant.

• SI $H_0>0$: La phase passe de 0 à $-\pi /2$ et elle vaut $-\pi /4$ à la pulsation propre.

• La pulsation de coupure est égale à la pulsation propre.

• Le diagramme de Bode admet une asymptote horizontale à basse fréquence et une asymptote oblique de pente $-20dB/decade$ à haute fréquence.

Diagramme de Bode
On retrouve les caractéristiques précédentes sur le diagramme de Bode.

Filtre passe-haut d’ordre 1

Important

Fondamental : Forme canonique

Un filtre passe haut d’ordre 1 peut se mettre sous la forme:

$$\begin{array}{r}\underset{―}{H}=\frac{j{H}_{0}x}{1+jx}\end{array}$$

avec la pulsation réduite $x=\frac{\omega }{{\omega }_0}$ et la pulsation propre ${\omega }_0$.

Caractéristiques
Les caractéristiques que vous devez savoir calculer/prouver sont:

• ses limites haute et basse fréquence qui permettent de reconnaître un tel filtre: la limite HF est non nulle et la limite BF est nulle.

• l’expression de son gain réel, de son gain en décibel et de sa phase

• le gain réel est strictement croissant.

• la pulsation de coupure est égale à la pulsation propre.

• Si $H_1>0$: La phase passe de $\pi /2$ à 0 et elle vaut $\pi /4$ à la pulsation propre.

• Le diagramme de Bode admet une asymptote horizontale à haute fréquence et une asymptote oblique de pente $20dB/decade$ à basse fréquence.

Diagramme de Bode
On retrouve les caractéristiques précédentes sur le diagramme de Bode.

Filtre passe-bas d’ordre 2

Important

Fondamental : Forme canonique

Un filtre passe bas d’ordre 2 peut se mettre sous la forme:

$$\begin{array}{r}\underset{―}{H}=\frac{H_0}{1-x^2+j\frac{x}{Q}}\end{array}$$

avec la pulsation réduite $x=\frac{\omega }{{\omega }_0}$, le facteur de qualité Q et la pulsation propre ${\omega }_0$.

Caractéristiques
Les caractéristiques que vous devez savoir calculer/prouver sont:

• ses limites haute et basse fréquence qui permettent de reconnaître un tel filtre: la limite HF est nulle et la limite BF est non nulle.

• l’expression de son gain réel, de son gain en décibel et de sa phase

• l’existence d’une résonance conditionnée à un facteur de qualité tel que $Q>\frac{1}{\sqrt{2}}$. La fréquence de résonance dépend du facteur de qualité. Elle tend vers 0 quand Q décroit et vers la pulsation propre quand Q augmente.

• La phase passe de 0 à $-\pi$ (ou de $\pi$ à 0 si $H_0<0$). Elle vaut $-\pi /2$ (ou $\pi /2$) à la pulsation propre.

• Le diagramme de Bode admet une asymptote horizontale à basse fréquence et une asymptote oblique de pente $-40dB/decade$ à haute fréquence.

Diagramme de Bode
On retrouve les caractéristiques précédentes sur le diagramme de Bode. Plusieurs tracés sont représentés pour différentes valeurs de Q.

Filtre passe-haut d’ordre 2

Important

Fondamental : Forme canonique

Un filtre passe haut d’ordre 2 peut se mettre sous la forme:

$$\begin{array}{r}\underset{―}{H}=\frac{-H_1{x}^2}{1-x^2+j\frac{x}{Q}}\end{array}$$

avec la pulsation réduite $x=\frac{\omega }{{\omega }_0}$, le facteur de qualité Q et la pulsation propre ${\omega }_0$.

Caractéristiques
Les caractéristiques que vous devez savoir calculer/prouver sont:

• ses limites haute et basse fréquence qui permettent de reconnaître un tel filtre: la limite HF est non nulle et la limite BF est nulle.

• l’expression de son gain réel, de son gain en décibel et de sa phase

• l’existence d’une résonance conditionnée à un facteur de qualité tel que $Q>\frac{1}{\sqrt{2}}$. La fréquence de résonance dépend du facteur de qualité. Elle tend vers l’infini quand Q décroit et vers la pulsation propre quand Q augmente.

• La phase passe de $\pi$ à 0 (ou de 0 à $-\pi$ si $H_1<0$). Elle vaut $\pi /2$ (ou $-\pi /2$) à la pulsation propre.

• Le diagramme de Bode admet une asymptote horizontale à haute fréquence et une asymptote oblique de pente $40dB/decade$ à basse fréquence.

Diagramme de Bode
On retrouve les caractéristiques précédentes sur le diagramme de Bode. Plusieurs tracés sont représentés pour différentes valeurs de Q.

Filtre passe-bande d’ordre 2

Important

Fondamental : Forme canonique

Un filtre passe bande d’ordre 2 peut se mettre sous la forme:

$$\begin{array}{rl}\underset{―}{H}& =\frac{H_2}{1+jQ(x-\frac{1}{x})}\\ & =\frac{j{H}_2\frac{x}{Q}}{1-x^2+j\frac{x}{Q}}\end{array}$$

avec la pulsation réduite $x=\frac{\omega }{{\omega }_0}$, le facteur de qualité Q et la pulsation propre ${\omega }_0$.

Caractéristiques
Les caractéristiques que vous devez savoir calculer/prouver sont:

• ses limites haute et basse fréquence qui permettent de reconnaître un tel filtre: la limite HF est nulle et la limite BF est nulle.

• l’expression de son gain réel, de son gain en décibel et de sa phase

• l’existence d’une résonance quelque soit la valeur du facteur de qualité. La fréquence de résonance est toujours la pulsation propre.

• La bande passante possède une largeur $\mathrm{\Delta }\omega =\frac{{\omega }_0}{Q}$. Les pulsations de coupure sont symétriques sur un diagramme de Bode: ${\omega }_{c1}\times {\omega }_{c2}={\omega }_0^2$.

• Si $H_2>0$: La phase passe de $\pi /2$ à $-\pi /2$ et elle vaut 0 à la pulsation propre, on dit que les signaux entrée et sortie sont en phase.

• Le diagramme de Bode admet une asymptote oblique à basse fréquence de pente $20\mathrm{d}\mathrm{B}/\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}$ et une asymptote oblique de pente $-20dB/decade$ à haute fréquence.

Diagramme de Bode
On retrouve les caractéristiques précédentes sur le diagramme de Bode. Plusieurs tracés sont représentés pour différentes valeurs de Q ($H_2$ et ${\omega }_0$ étant fixés).

Filtre coupe-bande d’ordre 2

Important

Fondamental : Forme canonique

Un filtre coupe bande d’ordre 2 peut se mettre sous la forme:

$$\begin{array}{rl}\underset{―}{H}& =\frac{H_3(1-x^2)}{1-x^2+j\frac{x}{Q}}\end{array}$$

avec la pulsation réduite $x=\frac{\omega }{{\omega }_0}$, le facteur de qualité Q et la pulsation propre ${\omega }_0$.

Caractéristiques
Les caractéristiques que vous devez savoir calculer/prouver sont:

• ses limites haute et basse fréquence qui permettent de reconnaître un tel filtre: la limite HF et la limite BF sont égales et non nulles.

• l’expression de son gain réel, de son gain en décibel et de sa phase

• l’existence d’une anti-résonance: le gain s’annule à la pulsation propre.

• La bande coupée (définie comme la bande de fréquence où le gain est inférieure au gain maximal divisé par $\sqrt{2}$) possède une largeur $\mathrm{\Delta }\omega =\frac{{\omega }_0}{Q}$. Les pulsations de coupure sont symétriques sur un diagramme de Bode: ${\omega }_{c1}\times {\omega }_{c2}={\omega }_0^2$.

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