Méthode : Recherche des éléments principaux

Méthodes présentées

• L’utilisation de la géométrie et de la trigonométrie pour établir de relations mathématiques

• L’utilisation des petits angles pour se placer dans les conditions de gauss

• Dans les conditions de Gauss (ordre 1), on trouve normalement un résultat dépendant de la position de l’objet/image mais pas du rayon choisi (ici de l’angle i). C’est le stigmatisme approchée.

Foyer image d’un miroir sphérique.

Exercice

On considère une portion de sphère de rayon R dont l’intérieur est entièrement réfléchissant.

1. On considère un rayon incident parallèle à l’axe optique à une distance d de ce dernier. Représenter graphiquement le rayon réfléchi et l’intersection entre ce rayon et l’axe optique. Comment appellerait-on ce point ?

2. Déterminer la distance (algébrique) entre le centre de la sphère miroir et le point d’intersection précédent.

3. Simplifier l’expression précédente pour d >> R. Commenter le résultat.

La correction est en ligne.

Correction

Q1. On utilise l’égalité de l’angle incident et de l’angle réfléchie (la normale à une sphère est son rayon).

Le point F est le point d’intersection de rayons sortant issus des rayons incidents parallèle à l’axe optique, il correspond donc à un bon candidat pour le foyer principal image.

Q2. Le rayon incident est parallèle à l’axe optique, il vient que l’angle entre le rayon CI et l’axe optique est aussi l’angle i et le triangle CIF est donc isocèle en F.
On peut alors utiliser le produit scalaire:

\[\begin{align*} CI^2 &= \overrightarrow{CI} \cdot \overrightarrow{CI} = \left(\overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FI}\right) \cdot \left(\overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FI}\right) \\ &= CF^2 + IF^2 + 2 \overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{FI} = 2 CF^2 + 2 CF^2 \cos {\left(\pi - (\pi - 2i) \right)} \\ &= 2 CF^2 \left(1 + \cos 2i\right) \end{align*}\]

Il vient:

(3)\[\begin{equation} \boxed{CF = \frac{R}{2 \cos i}} \end{equation}\]

Remarque: On observe que la position du point dépend de l’angle et donc du rayon: on n’a pas de stigmatisme rigoureux.

Q3. Condition de Gauss. Lorsque \(d \ll R\), il vient que \(i \ll 1\) donc \(CF \approx \frac{R}{2}\)

Cette fois, la position du foyer ne dépend plus des rayons: en sélectionant les rayons paraxiaux (conditions de Gauss), on réalise un stigmatisme approché.