Mise en équation
Notons le point I, le point d’incidence sur le dioptre air-eau pour le rayon extrême du faisceau issu de O et entrant dans la pupille. On note et les angles respectivement d’incidence et de réfraction. On a les relations :
On a 4 inconnues (IL, IJ, et ) et quatre inconnues, on peut donc résoudre le système.
Il est important de voir que la résolution complète ne nous intéresse pas. On veut qui représente l’ouverture angulaire. On va donc chercher à garder et éliminer les autres inconnues.
Les grandeurs et les indices sont des grandeurs connues qu’on va garder.
Equation pour l’angle:
Les deux dernières équations permettent d’écrire: et d’où le système:
soit en éliminant (on a directement utilisant - on peut se le permettre car l’indice de réfraction est sans dimension: le changer par sa valeur numérique n’impacte pas l’analyse dimensionnelle):
(1)
On rappelle que
Résolution aux petits angles
Nous allons faire une approximation pour résoudre cette équation (sans quoi la résolution devient TRÈS délicate). En effet, la taille de la pupille est de l’ordre du mm (on prendra ) et la hauteur de la casserole est de l’ordre de la dizaine de cm. (on prendre ). Il vient que les angles à la normale seront nécessairement petit.
On peut avoir un ordre de grandeur en considérant que . En pratique, la propagation n’est pas rectiligne mais les angles et sont nécessairement du même ordre de grandeur que .
Or si , on peut faire les approximations dites des petits angles :
On ne conservera pas aussi les puissances au carré des petits angles (on parle d’approximation à l’ordre 1), des précisions seront données sur cette approximation dans des cours ultérieurs. On essaiera déjà d’appréhender la méthode d’utilisation de cette approximation.
Ici l’équation devient :
(2)