Entrainement : Calcul littéral#

Equations#

Equation du second degré: Equations littérales#

Equations

Résoudre les équations ou inéquations suivantes (l’inconnue est toujours \(x\)). Les grandeurs littérales sont toutes supposées positives.

  1. \(x^2 - (a+b)x + ab = 0\)

  2. \(x^2 - (2f-d)x + fd = 0\)

  3. \(kx^2 + 2(\sin(\theta)-\cos(\theta))x - \sin(2\theta)=0\)

  4. \(\frac{mv^2b^2}{2x^2}+\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 x}=\frac{1}{2}mv^2\)

  5. \(\frac{gy^2}{2v^2}x^2-yx+(\frac{gy^2}{2v^2}+z)=0\). Préciser l’inégalité que doivent vérifier \(g,v,y\) et \(z\) pour que cette équation possèdent des solutions réelles.

  6. \(a e^{-x/4} = \eta\) avec comme inconnue \(x\)

Systèmes d’équations

Résoudre les deux systèmes d’équations suivants (les inconnues sont x et y). Les grandeurs littérales sont supposées positives. On utilisera la méthode des combinaisons linéaires.

(8)#\[\begin{align} &\begin{cases} E_1 - R_1 x - R (x+y)&=0\\ E_2 - R_2 y - R (x+y)&=0\\ \end{cases}\\ &\begin{cases} -m\omega^2 x +k x - K(y-x) &= F_m\\ -m\omega^2 y +k y + K(y-x) &= 0\\ \end{cases} \end{align}\]

Etude de fonctions#

Représentation graphique

Etudier complètement la fonction suivante puis réaliser un tracé graphique complet (points et caractéristiques importantes à faire apparaître sur le graphique). On réaliser différentes tracés en fonction du paramètre \(f\) de manière à caractériser les différents cas possibles dans les caractéristiques de la fonction.

  1. \(g(x) = \frac{fx}{x+f}\) sur \(\mathbb{R} / \{-f\}\)

Nombres complexes#

Caractéristiques

Déterminer les normes et arguments des complexes suivant.

  1. \(z = 3 + jx\) avec \(x < 0\)

  2. \(z = (x-1) - j(x-3)\) avec \(x > 0\)

  3. Les conjugués des deux complexes précédents

  4. Leur somme puis leur produit

  5. \(z = 4 e^{j \frac{\pi}{6\lambda}}\) avec \(\lambda\) positif.

  6. \(z = 2\omega e^{j \frac{\omega\pi}{3}}\) avec \(\omega\) négatif.

  7. Les conjugués des deux complexes précédents

  8. Leur somme puis leur produit