Applications : Bases#

Equations#

Equations

Résoudre les équations ou inéquations suivantes (l’inconnue est toujours \(x\)):

  1. \(x^2+3x-1=0\)

  2. \((x-3)(x-4)=1\)

  3. \((x-3)(x-4)=0\)

  4. \(x^2+x=-1\)

  5. \(e^{x^2}=k\) avec comme inconnue \(x\)

  6. Déterminer \(x\) tel que \(\frac{x+3}{x-2}=x\)

Systèmes d’équations

Résoudre les systèmes d’équations suivants (les inconnues sont x,y,z). Vous devez utiliser la méthode par combinaison linéaire présentée.:

(7)#\[\begin{align} &\begin{cases} x - 2y &= 3\\ 2x - y &= 0\\ \end{cases}\\ &\begin{cases} 5x &= 3 - 4y\\ 3y &= 5x - 2\\ \end{cases}\\ \end{align}\]

Etude de fonctions#

Limites de fonctions

Déterminer, en le justifiant, les limites suivantes:

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} -3x^3 + 4x^2 - 2\)

  2. \(\lim\limits_{x \to 0} -3\frac{1}{x^3} + 4\frac{1}{x^2} - 2\)

  3. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{-4x^2-2x-1}{-3x^3+2x^2-x-5}\)

  4. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{-4x^3-2x-1}{-2x^2-x-5}\)

  5. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{-4x^3-2x-1}{-2x^3-x-5}\)

  6. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{-4x^2-2x-1}{-2x^2-x-5}\)

  7. \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\)

  8. \(\lim\limits_{x \to 0} x-\ln (x)\)

  9. \(\lim\limits_{x \to +\infty} x^2-\ln (x)\)

  10. \(\lim\limits_{x \to -\infty} x^2-e^{-x}\)

  11. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{x}\)

  12. \(\lim\limits_{x \to -\infty} xe^{x}\)

Représentation graphique

Etudier complètement les fonctions suivantes puis réaliser un tracé graphique complet (points et caractéristiques importantes à faire apparaître sur le graphique).

  1. \(f(x) = x^2 - 3x + 1\) sur \(\mathbb{R}\)

  2. \(f(x) = \frac{x-1}{x-2}\) sur \(\mathbb{R}/{2}\)

  3. \(f(z) = \frac{x^2+2x-1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^{*}\)

  4. \(f(\gamma) = \cos(\gamma)\) sur \([0;2\pi]\)

  5. \(f(x) = e^2 - x + 1\) sur \(\mathbb{R}^{+}\)

  6. \(f(x) = x^2\ln(x)\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\). On montrera que la fonction peut être prolongée en \(x=0\) et on déterminera la tangente en \(x=0\).

  7. \(f(x) = \sqrt{x^2 - 4}\) Déterminer le domaine de définition le plus large de la fonction puis l’étudier sur cet intervale.

  8. \(f(x) = \ln(x) - x\) sur \(\mathbb{R}^{+}\)

Nombres complexes#

Caractéristiques

Déterminer les normes et arguments des complexes suivantes.

  1. \(z = 3 + 4j\)

  2. \(z = 4 - 5j\)

  3. Les conjugués des deux complexes précédents

  4. Leur somme puis leur produit

  5. \(z = 4 e^{j \frac{\pi}{6}}\)

  6. \(z = 2 e^{j \frac{\pi}{3}}\)

  7. Les conjugués des deux complexes précédents

  8. Leur somme puis leur produit