Géométrie vectorielle: Généralités#

Les définitions données ici ne sont pas à apprendre pour la physique. Elles sont là pour cadrer correctement le cours de physique. On utilisera leur version “opératoire” basée sur la vision des vecteurs introduits au lycée.

Espace vectoriel: Définition#

Espace vetoriel (pas à apprendre)

Soit un corps K commutatif. Un K-espace vectoriel est un ensemble E muni d’une loi interne (+, on l’appellera somme vectorielle) et d’une loi externe (*, on l’appellera multiplication par un scalaire) tel que:

  • la somme vectorielle est commutative, associative, possède un élément neutre (vecteur nul) et tel que tout élément v possède un “opposé” (noté -v) tel que \(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{-v} = \overrightarrow{0}\).

  • la loi externe est distributive sur la somme vectorielle (c’est-à-dire quie \((\lambda + \mu)*(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}) = \lambda \overrightarrow{v} + \mu \overrightarrow{v} + \lambda \overrightarrow{u} + \mu\overrightarrow{u}\)), associative mixte (c’est-à-dire \((\lambda \times \mu) * \overrightarrow{u} = \lambda * (\mu * \overrightarrow{u})\) et possède un élément neutre noté 1 (c’est-à-dire que \(1 * \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u}\)).

Cas utilisé en physique

Cette définition très générale peut s’appliquer à de nombreux cas (comme des ensembles de fonctions) avec des conséquences très intéressantes. Dans le cadre du programme en physique, on considèrera des R-espaces vectoriels, c’est-à-dire que le corps de “scalaires” sur lequel s’appuie sera le corps des réels.

Les espaces vectoriels que nous utiliserons principalement sont les ensembles \(\mathbb{R}^2\) et \(\mathbb{R}^3\). La somme vectorielle représente la somme vectorielle usuelle (qu’on peut associer à la somme graphique de deux vecteurs) et la multiplication par un scalaire aussi. A noter que cette dernière est en général notée de manière implicite.

On peut associer aux vecteurs des espaces nommés précédemment une direction, un sens et une longueur (cf.suite). Ces caractéristiques, utiles pour visualiser les problèmes physiques ont leur limite lorsqu’on manipule les grandeurs vectorielles (notamment les sommes). C’est pourquoi, nous allons introduire des caractéristiques générales des espaces vectoriels pour préparer à la manipulation mathématiques des objets comme les forces, vecteur vitesse, vecteur position… )

Au contraire des mathématiques, on conservera la notation fléchée pour désigner les vecteurs (élément de l’espace vectoriel) de manière à bien les différencier des grandeurs scalaires (réels).

Important

Combinaison linéaire Une combinaison linéaire est une somme vectorielle qui peut s’écrire \(\overrightarrow{v} = \sum\limits_{i} \lambda_i \overrightarrow{u_i}\).

Famille et base (en ligne)#

Famille libre

Une famille libre (ou linéairement indépendants) de vecteurs est une ensemble de vecteurs dont aucun ne peut être écrit comme une combinaison linéaire des autres. Cela revient à imposé la condition:

\[ \forall (a_1, a_2, ..., a_n) \in \mathbb{R}^n \left(\sum\limits_{k = 1}^{n} a_k \overrightarrow{v_k} = 0 \Longrightarrow \left(\forall k \in [\![1;n]\!] a_k = 0\right)\right) \]

c’est-à-dire que toute combinaison linéaire nulle des vecteurs d’une famille libre implique que tous les coefficients sont nuls.

Famille génératrice

Une famille génératrice est une famille de vecteurs tels que tout vecteur de l’espace vectoriel E peut s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de la famille.

Base

Une famille de vecteur est une base s’il s’agit d’une famille linéairement indépendante et génératrice.

Tous les vecteurs d’une base sont donc indépendants et tout vecteur de E peuvent s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs d’une base.

Dimension d’un espace vectoriel (Admis)

Toutes les bases d’un même espaces vectoriel ont la même cardinalité (le même nombre d’élements). Ce cardinal définit la dimension de l’espace vectoriel.

Ainsi \(\mathbb{R}^2\) est de dimension 2 et \(\mathbb{R}^3\) est de dimension 3. Remarque: il peut exister des espaces vectoriels de dimension infinie mais nous n’en rencontrerons pas en physique.

Nombre de base

Si la dimension d’un espace vectoriel sera en général fini en physique, le nombre de base possibles est infini.

Produit scalaire#

Un produit scalaire (noté \(\cdot\)) de E est une forme bilinéaire définie positive symétrique. C’est-à-dire:

Remarque

Plus qu’une définition, il s’agit en physique de propriétés opératoires pour manipuler et calculer les produits scalaires (cf. exemple ci-après).

  • Un forme bilinéaire est une application de \(E^2\) dans \(\mathbb{R}\) (En toute rigueur, elle a ses images dans le corps \(\mathbb{K}\) associé à l’espace vectoriel. Pour nous, c’est toujours \(\mathbb{R}\).) linéaire à gauche est à droite:

    • linéaire à gauche: \((\lambda \overrightarrow{u_1} + \overrightarrow{u_2}) \cdot \overrightarrow{v} = \lambda (\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{v})+ \overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{v}\)

    • linéaire à droit: \(\overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v_1} + \overrightarrow{v_2}) = \lambda (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v_1})+ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v_2}\)

  • Elle est symétrique si \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}\)

  • Elle est positive si \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} > 0\) quelque soit \(\overrightarrow{u}\)

  • Elle est définie si (Si \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = 0\) alors \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}\))

Attention

Le produit scalaire est à valeur dans K (pour nous dans \(\mathbb{R}\)), c’est-à-dire qu’il renvoie un scalaire et non un vecteur.

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs sont sont dits orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Dans le cas plan ou de l’espace en physique, celà correspond à la notion d’angle droit usuel.

Norme euclidienne (en ligne)#

Attention à ne pas confondre norme et composante d’un vecteur.

Norme euclidienne

Soit un vecteur \(\overrightarrow{u}\), on définit la norme euclidienne de \(\overrightarrow{u}\) par:

\[ \left \| \overrightarrow{u} \right \| = \sqrt{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}} \]

  • En physique, on notera souvent (pas toujours) \(u\) la norme du vecteur \(\overrightarrow{u}\). C’est possible en physique car on rappelle que tous les vecteurs doivent être notés avec des flèches.

  • Un vecteur de norme 1 est appelé vecteur normé ou vecteur unitaire.

Base orthonormée (en ligne)#

Base orthonormée

Une base orthonormée est une base dont tous les vecteurs sont normés et orthogonaux deux à deux.

En physique, on travaillera toujours avec des base orthonormées.

Remarque

En mathématiques, la projection est un scalaire mais pour des raisons pratiques, on considérera en physique qu’il s’agit du vecteur associé et on parlera de composante (cf. suite)

Projection orthogonale sur une droite vectorielle

Soit un vecteur non nul \(\overrightarrow{v}\). Le projeté orthogonal (en physique) d’un vecteur \(\overrightarrow{u}\) sur la droite vectorielle portée par \(\overrightarrow{v}\) est le vecteur \(\frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\left \| v\right \|} \overrightarrow{v}\).

Si \(\overrightarrow{v}\) est un vecteur unitaire (noté \(\overrightarrow{e_m}\), alors le projecté orthogonal de \(\overrightarrow{u}\) se réécrit: \((\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{e_m}) \overrightarrow{e_m}\)

Cette écriture du projeté orthogonal sur un vecteur normé est très utile en physique pour donner un sens à une composante d’un vecteur.

Projection dans une base orthonormée

Soit une base orthonormée \((\overrightarrow{e_k})\ k\in [\![1;n]\!]\) et un vecteur \(\overrightarrow{u}\) dont la décomposition dans la base est \(\overrightarrow{u} = \sum\limits_{k=1}^{n} u_k \overrightarrow{e_k}\). On appelle cette décomposition la projection de \(\overrightarrow{u}\) dans la base et chaque composante \(u_k \overrightarrow{e_k}\) correspond à la projection du vecteur \(\overrightarrow{u}\) sur la droite vectorielle portée par \(\overrightarrow{u_k}\).

Méthode: Calcul d’un produit scalaire#

Comme nous allons le voir à travers un exemple, on utilise rarement les angles pour calculer les produits scalaires mais plutôt la décomposition des vecteurs dans une base orthonormée.

Exercice

Soit E un R-espace vectoriel muni du produit scalaire \(\cdot\) et une base base orthonormée de E \((\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3})\). On considère deux vecteurs dont les décompositions dont la base orthonormée sont:

\[\begin{align*} \overrightarrow{v} = v_1 \overrightarrow{e_1} + v_2 \overrightarrow{e_2}\\ \overrightarrow{u} = u_1 \overrightarrow{e_1} + u_2 \overrightarrow{e_2} + u_3 \overrightarrow{e_3} \end{align*}\]

Déterminer le produit scalaire \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\).

Correction

On va utiliser successivement la bilinéarité du produit scalaire et le caratère orthonormé de la base

\[\begin{align*} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =& \left(v_1 \overrightarrow{e_1} + v_2 \overrightarrow{e_2}\right) \\ &\cdot \left(u_1 \overrightarrow{e_1} + u_2 \overrightarrow{e_2} + u_3 \overrightarrow{e_3}\right)\\ =& v_1 u_1 \underbrace{\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}}_{=1} + v_1 u_2 \underbrace{\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}}_{=0} \\ &+ v_1 u_3 \underbrace{\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_3}}_{=0} + v_2 u_1 \underbrace{\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}}_{=0} \\ &+ v_2 u_2 \underbrace{\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}}_{=1} + v_2 u_3 \underbrace{\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_3}}_{=0}\\ =& v_1 u_1 + v_2 u_2 \end{align*}\]