Méthodes de résolution#

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Important

Méthode de résolution Pour résoudre une équation différentielle, il faut suivre scrupuleusement l’ordre de résolution suivant:

  1. Mettre en équation le problème et mettre l’équation sous forme canonique en reconnaissant l’ordre de l’équation.

  2. Déterminer la solution générale (notée ici \(f_1(t)\)) de l’équation homogène (ESSM) soit directement (ordre 1), soit par analyse du discriminant de l’équation différentielle. Ne pas chercher à déterminer les constantes d’intégration.

  3. Déterminer une solution particulière (notée ici \(f_2(t)\)) de l’équation avec second membre si il est non nul. Le seul cas où la méthode est à connaître est le cas d’un second membre constant. On cherche alors une solution particulière constante. On ne fait pas de méthode de la variation de la constante en physique. On verra aussi le cas d’un second membre sinusoïdal mais la méthode à connaître sera présentée dans un chapitre entier d’électrocinétique.

  4. L’ensemble des solutions est alors de la forme \(f(t) = f_1(t) + f_2(t)\)

  5. Déterminer les constantes d’intégration grâce aux conditions initiales.

Résolution d’une équation d’ordre 1s#

Exercice

Résoudre l’équation différentielle suivante:

\[ \frac{\rm{d}f}{\rm{dt}}(t) + \frac{1}{\tau} f(t) = E \]

avec f(0) = 0

Correction

L’équation est déjà sous forme canonique, la solution ESSM est \(f_1(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}}\)

Le second membre étant constant, on cherche une solution constante sous la forme \(f_2(t) = K\). L’équation devient \(0 + K/\tau = E\) soit \(K = \tau E\).

La solution générale de l’équation avec second membre :

(12)#\[\begin{equation} f(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}} + \tau E \end{equation}\]

On cherche maintenant la constante d’intégration grâce à la condition initiale \(f(0) = 0\). Il vient \(A + \tau E = 0 \Longrightarrow A = - \tau E\). La solution est donc:

(13)#\[\begin{equation} f(t) = \tau E \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \end{equation}\]

Equation d’ordre 2#

Exercice

On considère l’équation suivante avec R et C positifs:

\[ R^{2}C^{2} \frac{\rm{d^2}u}{\rm{dt^2}} + 3RC \frac{\rm{d}u}{\rm{dt}} + u = E \]

avec u(0) = 0 et \(\frac{\rm{d}u}{\rm{dt}}(0) = 0\)

Correction

En cours de physique, on introduira les grandeurs \(\omega_0\) et Q. Ici, on va résoudre directement l’équation sans ces grandeurs. L’équation caractéristique est donc: \({(RC)}^2 r^2 + 3RC r + 1 = 0\) dont le discriminant est: \(\Delta = 5 {(RC)}^2> 0\). Les solutions sont réelles et valent:

(14)#\[\begin{equation} r_{1,2} = \frac{1}{2RC} \left(3 \pm \sqrt{5}\right) \end{equation}\]

La solution générale ESSM est donc de la forme:

(15)#\[\begin{equation} u_1(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t} \end{equation}\]

On cherche une solution particulière sous une forme constante \(u_2(t) = K\) ce qui donne l’équation \(0 + 0 + K = E\) soit une solution générale EASM:

(16)#\[\begin{equation} u(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t} + E \end{equation}\]

On détermine maintenant les constantes d’intégration à partir des conditions initiales. On obtient le système:

(17)#\[\begin{equation} \begin{cases} A + B + E &= 0\\ r_1 A + r_2 B &= 0 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} A &= \frac{r_2 E}{r_1 - r_2}\\ B &= \frac{r_1 E}{r_2 - r_1} \end{cases} \end{equation}\]