Géométrie et trigonométrie#

Généralités#

Théorèmes utiles

On rappelle ici le nom des théorèmes utiles:

  • le théorème de Pythagore

  • le théorème de Thales: on peut aussi le voir comme un rapport de grandeur lors d’une homothétie. Cette vision, développée en optique sera alors très utile.

  • le théorème d’Al-Kashi: en fait non, il est préférable de calculer la norme d’une somme de vecteur pour aboutir à une telle formule.

Important

Fonctions trigonométriques et triangle rectangle On rappelle que dans un triangle rectangle:

(1)#\[\begin{align} \cos \alpha &= \frac{\textrm{Côté adjacent}}{\textrm{Hypothénuse}} &=& \frac{BA}{AC}& &\\ \sin \alpha &= \frac{\textrm{Côté opposé}}{\textrm{Hypothénuse}} &=& \frac{BC}{AC}& &\\ \tan \alpha &= \frac{\textrm{Côté opposé}}{\textrm{Côté adjacent}} &=& \frac{BC}{BA}& & \end{align}\]
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Cercle trigonométrique#

Important

Cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1. L’axe Ox représente l’origine des angles parcourus sur le cercle. Ce cercle est orienté, c’est-à-dire que les angles orientés dans le sens dit trigonométrique (sens inverse du sens horaire) sont comptés positifs.

Soit un angle \(\alpha\) orienté, la longueur de l’arc associé à l’angle \(\alpha\) (arc AM) sur le cercle trigonométrique est égale à l’angle \(\alpha\) multiplié par la longueur unité. Sur un cercle de rayon R, la longueur de l’arc associé à \(\alpha\) est égale à \(R \alpha\).

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Soit M un point du cercle trigonométrique et \(\alpha\) l’angle orienté entre OM et l’axe Ox. On note N le projeté de M sur l’axe Ox et P le projeté de M sur l’axe Oy. Les distances algébriques \(\overline{ON}\) et \(\overline{OP}\) sont respectivement égales à \(\cos(\alpha)\) et \(\sin(\alpha)\).

On peut tracer les deux tangentes au cercle perpendiculaires à l’axe Ox orienté (vers le haut du côté des x positifs et vers le bas du côté des x négatifs). Soit T l’intersection de OM et de la tangente la plus proche. La distance de T à l’axe Ox est égale à\( \tan(\alpha)\) (distance algébrique AT).

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