Nombres complexes

Ecriture des complexes

En physique, il arrive très souvent que ce nombre soit noté j (en électronique surtout, pour ne pas confondre avec l’intensité).

Important

Ecriture complexe

• On définit le nombre complexe \(i\) tel que \(i^2 = -1\). Ce nnombre ne fait pas partie du corps des réels.

• Soit \(z\) un nombre complexe. On peut toujours écrire \(z\) sous la forme: \(z = a + i b\) où a et b sont des réelles.

  • a est appelée partie réelle: \(a = \Re(z)\)

  • b est appelée partie imaginaire: \(b = \Im(z)\)

Equivalence

L’équivalence avec l’écriture cartésienne passe par l’utilisation de la formule: \(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\).

• Un nombre de complexe peutse mettre sous la forme: \(z = r e^{i \theta}\) où

  • r est le module \(\left\vert z \right\vert\)

  • \(\theta\) l’argument arg(z) du nombre complexe z.

Important

Relation entre les écritures Ces relations sont fondamentales en physique et doivent être sues par coeur.

(2)\[\begin{align} \vert z\vert &= \sqrt{{\Re(z)}^2 + {\Im(z)}^2}\\ \cos \theta &= \frac{\Re(z)}{\vert z \vert}\\ \sin \theta &= \frac{\Im(z)}{\vert z \vert}\\ \tan \theta &= \frac{\Im(z)}{\Re(z)} \end{align}\]

Cas particuliers

Cas d’un réel: \(\Im(z) = 0\) et \(arg(z) = 0 \textrm{ ou }\pi\) suivant le signe du réel.

Cas d’un imaginaire pur: \(\Re(z) = 0\) et \(arg(z) = \pm\pi/2\) suivant le signe de la partie imaginaire.

Représentation graphique

Important

Plan complexe Le plan complexe est un plan muni d’un repère orthonormé \(\left (O, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right )\) tel que l’image d’un nombre complexe z est le point M de coordonnées \(\left ( \Re(z), \Im(z)\right )\). L’image vectorielle de z est le vecteur \(\overrightarrow{OM}\) et z est appelée affixe du point M.

Le module de z est la longueur du vecteur\(\overrightarrow{OM}\) et l’argument de z est l’angle entre ce vecteur et l’axe des abscisses (ou axe des réels).

Opérations sur les complexes

Important

Conjugaison

Soit un complexe z, on définit le complexe conjugué \(\overline{z} \) comme le complexe possédant le même module mais un argument opposé. On peut aussi le définir comme celui ayant la même partie réelle et une partie imaginaire opposée.

$\( z = r e^{i \theta} = a + i b \Longrightarrow \overline{z} = r e^{-i \theta} = a - i b \)$\end{defi}

Important

Formulaire Ces relations sont fondamentales en physique et doivent être sues par coeur.

(3)\[\begin{align} \Re(z_1 + z_2) &= \Re(z_1) + \Re(z_2)\\ \Im(z_1 + z_2) &= \Im(z_1) + \Im(z_2)\\ \vert z_1 z_2 \vert &= \vert z_1 \vert \vert z_2 \vert \\ \arg(z_1z_2) &= \arg(z_1) + \arg(z_2)\\ \vert \frac{z_1}{z_2} \vert &= \frac{\vert z_1 \vert}{\vert z_2 \vert}\\ \arg(\frac{z_1}{z_2}) &= \arg(z_1) - \arg(z_2)\\ \overline{z_1+z_2} &= \overline{z_1}+\overline{z_2}\\ \overline{z_1 z_2} &= \overline{z_1} \overline{z_2}\\ \overline{\frac{z_1}{z_2}} &= \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\\ \left\vert \frac{1}{z} \right\vert &= \frac{1}{\left\vert z \right\vert}\\ \arg\left(\frac{1}{z}\right) &= - \arg(z) \end{align}\]