Equations différentielles: forme canonique et solution#

Equation d’ordre 1#

Important

Forme canonique d’une équation d’ordre 1. Une équation d’ordre 1 peut se mettre sous la forme:

(9)#\[\begin{align} \frac{\rm{d}y}{\rm{dt}} + \frac{1}{\tau} y(t) &= f(t) \textrm{ équation avec second membre}\\ \frac{\rm{d}y}{\rm{dt}} + \frac{1}{\tau} y(t) &= 0 \textrm{ équation sans second membre} \end{align}\]

Traitement du second membre

Attention, s’il y a un second membre il faut aussi le traiter. Nous verrons la méthode générale par la suite.

Important

Solution de l’équation sans second membre Toutes les solutions de l’équation homogène, c’est-à-dire sans second membre sont de la forme:

\[ y(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}} \]

Equation d’ordre 2#

Important

Forme canonique d’une équation d’ordre 2. Une équation d’ordre 2 peut se mettre sous la forme:

(10)#\[\begin{align} a \frac{\rm{d^2}y}{\rm{dt^2}} + b \frac{\rm{d}y}{\rm{dt}} + c y(t) &= f(t) \textrm{ équation avec second membre}\\ a \frac{\rm{d^2}y}{\rm{dt^2}} + b \frac{\rm{d}y}{\rm{dt}} + c y(t) &= 0 \textrm{ équation sans second membre} \end{align}\]

On mettra en général l’équation sous la forme canonique:

(11)#\[\begin{align} \frac{\rm{d^2}y}{\rm{dt^2}} + \frac{\omega_0}{Q} \frac{\rm{d}y}{\rm{dt}} + \omega_0^2 y(t) = g(t)\\ \frac{\rm{d^2}y}{\rm{dt^2}} + 2 \xi \omega_0 \frac{\rm{d}y}{\rm{dt}} + \omega_0^2 y(t) = g(t) \end{align}\]

On donnera des interprétations aux grandeurs \(\omega_0, \xi\) et Q dans le cours d’électrocinétique.

Important

Equation caractéristique La détermination de la solution générale passe par la résolution de l’équation caractéristique:

\[ a r^2 + b r + c = 0 \]

dont les solutions sont:

\[ r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \textrm{ avec } \Delta = b^2 - 4ac \]

Traitement du second membre

Attention, s’il y a un second membre il faut aussi le traiter. Nous verrons la méthode générale par la suite.

Important

Solution de l’équation sans second membre Les solutions de l’équation homogène, c’est-à-dire sans second membre ont une forme différente suivant la nature des solutions de l’équation caractéristique.

  • Cas 1: \(\Delta > 0\), les racines \(r_{1,2}\) sont réelles. La solution générale de l’équation homogène s’écrit:

\[ f_1(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t} \]

  • Cas 2: \(\Delta = 0\), il y a une racine double notée \(r_0 = \frac{-b}{2a}\) et réelle. La solution générale de l’équation homogène s’écrit:

\[ f_1(t) = (A + Bt) e^{r_0 t} \]

  • Cas 3: \(\Delta < 0\), les racines \(r_{1,2}\) sont complexes et conjuguées, on peut les écrire sous la forme \(r_{1,2} = \lambda \pm j \Omega\). La solution générale de l’équation homogène est à valeur réelle et il est important d’en donner une expression qui fait apparaître ce caractère et qui permet de l’analyser physiquement. On l’écrit donc sous les formes:

\[ f_1(t) = (A \cos \Omega t + B \sin \Omega t) e^{\lambda t} =C \cos(\Omega t + \phi) e^{\lambda t} \]

_\(\Omega\) est appelée pseudo-pulsation.