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# Applications : Bases

## Equations

````{admonition} Equations
:class: attention
Résoudre les équations ou inéquations suivantes (l'inconnue est toujours $x$):
1. $x^2+3x-1=0$
2. $(x-3)(x-4)=1$
3. $(x-3)(x-4)=0$
4. $x^2+x=-1$
1. $e^{x^2}=k$ avec comme inconnue $x$
3. Déterminer $x$ tel que $\frac{x+3}{x-2}=x$
````
````{admonition} Systèmes d'équations
:class: attention
Résoudre les systèmes d'équations suivants (les inconnues sont x,y,z). __Vous devez utiliser la méthode par combinaison linéaire présentée.__:

\begin{align}
	&\begin{cases}
		x - 2y &= 3\\
		2x - y &= 0\\
	\end{cases}\\
	&\begin{cases}
		5x &= 3 - 4y\\
		3y &= 5x - 2\\
	\end{cases}\\
\end{align}
````

## Etude de fonctions
````{admonition} Limites de fonctions
:class: attention
Déterminer, en le justifiant, les limites suivantes:
1. $\lim\limits_{x \to +\infty} -3x^3 + 4x^2 - 2$
2. $\lim\limits_{x \to 0} -3\frac{1}{x^3} + 4\frac{1}{x^2} - 2$
3. $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{-4x^2-2x-1}{-3x^3+2x^2-x-5}$
4. $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{-4x^3-2x-1}{-2x^2-x-5}$
5. $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{-4x^3-2x-1}{-2x^3-x-5}$
6. $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{-4x^2-2x-1}{-2x^2-x-5}$
7. $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$
8. $\lim\limits_{x \to 0} x-\ln (x)$
9. $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2-\ln (x)$
10. $\lim\limits_{x \to -\infty} x^2-e^{-x}$
11. $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{x}$
12. $\lim\limits_{x \to -\infty} xe^{x}$
````

````{admonition} Représentation graphique 
:class: attention
Etudier complètement les fonctions suivantes puis réaliser un tracé graphique complet (points et caractéristiques importantes à faire apparaître sur le graphique).
1. $f(x) = x^2 - 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$
3. $f(x) = \frac{x-1}{x-2}$ sur $\mathbb{R}/{2}$
4. $f(z) = \frac{x^2+2x-1}{x}$ sur $\mathbb{R}^{*}$
6. $f(\gamma) = \cos(\gamma)$ sur $[0;2\pi]$
8. $f(x) = e^2 - x + 1$ sur $\mathbb{R}^{+}$
9. $f(x) = x^2\ln(x)$ sur $\mathbb{R}^{+*}$. On montrera que la fonction peut être prolongée en $x=0$ et on déterminera la tangente en $x=0$.
11. $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$ Déterminer le domaine de définition le plus large de la fonction puis l'étudier sur cet intervale.
12. $f(x) = \ln(x) - x$  sur $\mathbb{R}^{+}$
````

## Nombres complexes

````{admonition} Caractéristiques
:class: attention
Déterminer les normes et arguments des complexes suivantes.
1. $z = 3 + 4j$
1. $z = 4 - 5j$
1. Les conjugués des deux complexes précédents
1. Leur somme puis leur produit
1. $z = 4 e^{j \frac{\pi}{6}}$
1. $z = 2 e^{j \frac{\pi}{3}}$
1. Les conjugués des deux complexes précédents
1. Leur somme puis leur produit
````