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# Entrainement : Calcul littéral

## Equations

### Equation du second degré: Equations littérales

````{admonition} Equations 
:class: attention
Résoudre les équations ou inéquations suivantes (l'inconnue est toujours $x$). Les grandeurs littérales sont toutes supposées positives.
1. $x^2 - (a+b)x + ab = 0$
1. $x^2 - (2f-d)x + fd = 0$
1. $kx^2 + 2(\sin(\theta)-\cos(\theta))x - \sin(2\theta)=0$
1. $\frac{mv^2b^2}{2x^2}+\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 x}=\frac{1}{2}mv^2$
1. $\frac{gy^2}{2v^2}x^2-yx+(\frac{gy^2}{2v^2}+z)=0$. Préciser l'inégalité que doivent vérifier $g,v,y$ et $z$ pour que cette équation possèdent des solutions réelles.
1. $a e^{-x/4} = \eta$ avec comme inconnue $x$
````

````{admonition} Systèmes d'équations
:class: attention
Résoudre les deux systèmes d'équations suivants (les inconnues sont x et y). Les grandeurs littérales sont supposées positives. __On utilisera la méthode des combinaisons linéaires.__

\begin{align}
	&\begin{cases}
		E_1 - R_1 x - R (x+y)&=0\\
		E_2 - R_2 y - R (x+y)&=0\\
	\end{cases}\\
	&\begin{cases}
		-m\omega^2 x +k x - K(y-x) &= F_m\\
		-m\omega^2 y +k y + K(y-x) &= 0\\
	\end{cases}
\end{align}
````

## Etude de fonctions
````{admonition} Représentation graphique 
:class: attention
Etudier complètement la fonction suivante puis réaliser un tracé graphique complet (points et caractéristiques importantes à faire apparaître sur le graphique). On réaliser différentes tracés en fonction du paramètre $f$ de manière à caractériser les différents cas possibles dans les caractéristiques de la fonction.
1. $g(x) = \frac{fx}{x+f}$ sur $\mathbb{R} / \{-f\}$
````

## Nombres complexes

````{admonition} Caractéristiques 
:class: attention
Déterminer les normes et arguments des complexes suivant.
1. $z = 3 + jx$ avec $x < 0$
1. $z = (x-1) - j(x-3)$ avec $x > 0$
1. Les conjugués des deux complexes précédents
1. Leur somme puis leur produit
1. $z = 4 e^{j \frac{\pi}{6\lambda}}$ avec $\lambda$ positif.
1. $z = 2\omega e^{j \frac{\omega\pi}{3}}$ avec $\omega$ négatif.
1. Les conjugués des deux complexes précédents
1. Leur somme puis leur produit
````