TD Optique 2a: Systèmes centrés¶
Ces exercices seront traités en classe.
Le sextant¶
Le sextant est un appareil qui était utilisé par les marins pour déterminer la latitude. Pour cela, il mesurait la hauteur d’un astre (Soleil,Lune… ) au dessus de l’horizon. Le sextant est composé de deux miroirs plans \(M_1\) et \(M_2\) (ce dernier étant semi-réfléchissant) et d’une lunette de visée (que nous n’étudierons pas ici). La direction OC du plan du miroir pointe un repère sur l’arc de cercle gradué AB qui mesure \(60^{\circ}\). Sur la figure, les proportions ne sont pas respectées.
Fig. 11 Sextant¶
Avec la lunette, l’observateur vise l’horizon donc l’axe optique de la lunette a la direction horizontale. La normale au plan du miroir \(M_2\) est fixe et fait un angle de \(30^{\circ}\). Ce miroir est aussi parallèle à la direction OA où O est le point d’incidence des rayons de l’astre sur le miroir \(M_1\) (qu’on peut assimiler au “centre” du miroir plan \(M_1\)). On note \(\theta\) l’angle entre la normale à \(M_1\) et l’horizontale et \(\phi\) celui de la direction de l’astre par rapport à l’horizontale. On les considère positifs dans la configuration donnée sur le schéma.
Exercice
Déterminer en fonction de \(\phi\) et \(\theta\), l’angle \(\alpha\) que fait le rayon réfléchi sur \(M_2\) avec l’horizontale.
Quel doit-être l’angle \(\theta\) pour que le rayon réfléchi sur \(M_2\) soit selon l’axe optique de la lunette?
Dans ces conditions, déterminer la relation entre l’angle AOC et l’angle SOH où S désigne la position de l’astre et H l’horizon.
Eléments de réponse (sans justification)
\(2 \theta + \phi - \pi/3\)
\(\theta = \pi/6 - \phi / 2\)
\(\phi/2\)
Dioptre hémisphérique¶
On étudie un dioptre hémisphérique (une lentille) de rayon R et d’indice n plongé dans l’air d’indice 1. On s’intéresse aux phénomène d’aberration. Un faisceau cylindrique (de rayon \(d_{\max}\)) de lumière monochromatique arrive sous incidence normale sur la lentille; ce faisceau est donc issu d’un point objet B situé à l’infini dans la direction de l’axe.
Exercice
On considère un rayon du faisceau de lumière à une distance d de l’axe optique. Établir la relation donnant CA en fonction de R = CS, et des angles i et r.
Montrer que quand on se place dans l’approximation de Gauss (\(d \ll R\)), on peut considérer que tous les rayons coupent l’axe optique en un même point F’ dont on déterminer la distance à C. F’ est donc l’image de B dans les conditions de Gauss.
Comment appelle-t-on F’?
On n’est plus dans les conditions de Gauss. Quelle est la valeur \(d_0\) limite de d max du faisceau incident si l’on veut que tous les rayons du faisceau incident ressortent de la lentille?
Faire l’application numérique pour n = 1,5, R = 5cm.
*Faire un développement limité au second ordre en i de la distance CA. Conclure quant à la possibilité de réaliser l’approximation de Gauss.
Eléments de réponse (sans justification)
\(CA = R \cos i + R \frac{\sin i}{\tan(r - i)}\)
\(CF' = R \frac{n}{n-1}\)
Foyer principal image
\(d_0 = R / n\)
3 cm
\(CA = CF' - \frac{d^2}{2R}\)