Comme évoqué précédement, on est souvent dans la situation où l’on ne connait pas tous les paramètres d’une loi physique à vérifier. On doit donc déterminer, à partir des données expérimentales, les paramètres inconnues de la loi de sorte que la loi obtenus soit “la plus cohérente” avec les résultats expérimentaux. On parle d’ajustement ou de régression.

Ajustement d’un modèle affine

Important

On peut réaliser l’ajustement d’un modèle quelconque a priori. Mais dans le cadre du programme, on se limitera à des méthodes d’ajustement de modèle affine (appelé par abus de langage modèle linéaire) : \(Y = aX + b\).

Méthode générale

Avant de rentrer dans la méthodes d’ajustment du modèle, il convient d’être méthodique. On suppose qu’on a un ensemble de mesures qui amène à construire deux mesurandes \(Y\) et \(X\) dont le modèle théorique les reliant est de la forme:

\[ Y = aX + b \]

où \(a\) et \(b\) ne sont pas connus. On a alors réalisé une série de mesure amenant au calcul des couples \((x_i, y_i)\) (on considèrera qu’il y a k mesures en tout : \(i \in \{1, 2, \ldots, k\}\) avec leurs incertitudes.

On doit alors :

1. Tracer les croix d’incertitude autour des points \((x_i, y_i)\) et vérifier qu’on peut espérer faire passer une droite par les croix d’incertitude (vérification qualitative).

2. Estimer au moins les paramètres \(a\) et \(b\) compatibles avec les points de mesures et si nécessaire l’incertitude sur les paramètres \(a\) et \(b\).

3. Tracer les points de mesures ET le modèle pour vérifier que le modèle passe par les croix d’incertitude (vérification semi-qualitative).

4. Si ce n’est pas le cas, on calculera les écarts normalisés pour voir s’il y a effectivement incompatibilité.

Dans les premiers TPs, les écarts normalisés seront systématiquement tracés pour s’entraîner à les calculs (sous Python notamment) et à les analyser.

Seul le point 2. n’a pas encore été développés. On va voir comment on s’y prend.

Régression linéaire : Méthode des moindres carrés.

Pour déterminer \(a\), \(b\), on va utiliser une méthode particulière appelée méthode des moindres carrés, cette méthode est démontrées comme étant l’une meilleures estimations de \(a\) et \(b\) dans de nombreux cas. Leurs incertitudes \(u(a)\) et \(u(b)\) seront déterminées par une méthode de Monte-Carlo (en répétant donc la méthode des moindres carrés avec des échantillons tirés aléatoirement à partir des distributions statistiques).

Important

En pratique, on utilisera des logiciels pour appliquer la méthode des moindres carrés:

• la fonction numpy.polyfit sous Python

• la fonction DROITEREG sous LibreOffice ou Excel. Son utilisation sera expliqué en temps voulu.

Explication de la méthode.

Cf. explications ici

Attention

La méthode des moindres carrés proposées ci-dessus n’est optimale que si les incertitudes sur les abscisses sont faibles voire nulles. On veillera donc toujours à placer en abscisses les grandeurs les moins incertaines, quitte à inverser \(X\) et \(Y\).