Points à retenir#

Cette partie résume les méthodes à connaître. Les explications sont données dans les chapitres suivants. Un poster est disponible en ligne

Concepts#

  • Mesurande : Grandeur que l’on veut mesurer. Le résultat de mesure est soumis à une variabilité dû aux conditions expérimentales, à la méthode, à l’opérateur. Cette variabilité est quantifité par une incertitude de mesure.

  • Incertitude-Type : Estimation de l’incertitude comme l’écart-type de la distribution des résultats de mesurage possibles.

Distribution#

Distribuion uniforme#

  • Loi de probabilité : \(p(x) = \frac{1}{b-a}\)

  • Espérance de la distribution : \(\mu = \frac{a+b}{2}\)

  • Ecart-type de la distribution : \(\sigma = \frac{b-a}{\sqrt{12}}\)

  • PYTHON (bibliothèque numpy.random) - Vecteur de N tirages :uniform(a, b, N)

Distribution gaussienne#

  • Loi de probabilité : \(p(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp^{- \frac{1}{2} {\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)}^2}\)

  • Espérance de la distribution : \(\mu\)

  • Ecart-type de la distribution : \(\sigma\)

  • PYTHON (bibliothèque numpy.random) - Vecteur de N tirages :normal(mu, sigma, N)

Sources d’incertitudes usuelles#

  • Fluctuation de l’affichage de mesure : intervalle min-max

  • Epaisseur du repérage entre deux graduations : intervalle min-max

  • Variabilité de la mesure d’un appareil ou d’un composant : se référer aux données constructeur

  • Variabilité sur plusieurs mesures (ex: entre binômes) : Méthode de Type A

Méthode de Type A#

Pour k mesures \(g_k\) du mesurande \(G\).

  • Valeur mesurée :

\[g_{mes} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{k}g_i\]

  • Incertitude :

\[u(g) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sigma_G = \sqrt{\frac{1}{N(N-1)} \sum\limits_{i=1}^{k}{(g_i - g_{mes})}^2}\]

Méthode de Monte-Carlo#

Pour un mesurande \(Y = f(X_i)\).

  1. Pour chaque mesurande directe \(X_i\)

    1. Pour chaque source d’incertitude estimée \(u_i\) : Simulation de N tirages suivant la distribution estimée (autour de 0).

    2. Somme des composantes avec la valeur mesurée

  2. Calcul des N simulations de Y.

  3. Calcul de la moyenne (mean(V)) des N valeurs (résultat de mesurage) et de l’écart-type (std(V, ddof=1)) (incertitude-type).

Rendre-compte#

Résultat unique#

\[ G = (G_{mes} \pm u(G)) Unités \]

Vous devez respectez les contraintes suivantes :

  • L’incertitude de mesure doit avoir 2 chiffres significatifs

  • La valeur mesure doit avoir la même précision que l’incertitude ne mesure.

Représentation graphique#

  • Pensez aux incertitudes de mesure.

  • PYTHON (bibliothèque matplotlib.pyplot) - Croix d’incertitude : errorbar(x, y, xerr=ux, yerr=uy, marker='+', linestyle='', label='Légende')

  • PYTHON (bibliothèque matplotlib.pyplot) - Histogramme de valeurs : hist(v, bins='rice')

Exploitation#

Ecart normalisé :#

\[\eta = \frac{g_{mes} - g_{att}}{\sqrt{u^2(g_{mes}) + u^2(g_{att})}}\]

  • Si l’écart normalisé est inférieur à 2, on considérera que valeur attendue et expérience sont compatibles.

  • Si l’écart normalisé est supérieur à 2, on considérera que valeur attendue et expérience ne sont pas compatibles.

On peut utiliser l’écart normalisé sur une série de données pour vérifier leur compatibilité entre elles.

Régression linéaire#

  1. Tester l’alignement visuellement.

  2. Faire la régression linéaire N fois : boucle + polyfit(x, y, 1) (bibliothèque numpy)

  3. Moyenne et écart-type sur la pente et l’ordonnée à l’origine

  4. Vérification graphique de la droite modèle avec les croix d’incertitude

  5. Vérification par les écarts normalisées entre le modèle et les mesures