Les incertitudes de mesure#

Qu’est-ce qu’une incertitude ?#

Variabilité des mesures

Un processus de mesurage n’est jamais stable et unique :

Le résultat de mesurage ne sera pas tout à fait le même si l’on refait plusieurs fois la mesure ou la méthode de mesurage ne nous permettra que d’encadrer le résultat entre deux valeurs. Le processus de mesurage présente donc une dispersion des valeurs possibles pour le résultat de mesurage.

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Fig. 1 Dispersion des résultats de mesure#

La fidélité d’un résultat de mesure est caractérisé par la dispersion des résultats de mesure qu’on obtiendrait en répéter l’expérience. On va quantifier cette dispersion par une grandeur qu’on appelle incertitude.

Important

  • L’incertitude du résultat d’un mesurage est un paramètre positif qui caractérise la dispersion des valeurs attribuées à un mesurande, à partir des informations utilisées.

  • L’incertitude-type est une incertitude de mesure exprimée sous la forme d’un écart-type. On la notera \(u(G)\) pour un mesurande \(G\) dans la valeur mesurée sera \(G_{mes}\).

Caractère statistique

L’incertitude-type permet d’attribuer une vision statistique à la notion de dispersion. L’idée est la suivante :

si l’on repète \(N\) fois la même expérience dans les mêmes conditions, on va pouvoir mesurer \(N\) résultats de mesurages différents d’une grandeur \(X\) (notés \(x_i\) avec \(i\) allant de 1 à \(N\)). On obtient ainsi une statistique des valeurs mesurées dont on peut associer la moyenne au résultat de mesurage et l’écart-type à l’incertitude-type.

Grâce à cette vision, on peut :

  • Visualiser (histogramme) la dispersion des mesures à partir de mesures réelles ou par des simulations de tirages aléatoires (on “simule” N expériences) et en tirer des informations.

  • Utiliser les propriétés mathématiques de la variance et de l’écart-type pour calculer des incertitudes-types (puisqu’on les assimile à des écart-types).

Un exemple de simulation

On suppose qu’on a réalisé la mesure d’une tension \(U\) et qu’on a obtenu un résultat de mesurage \(U_{mes} = 3.4 V\) avec une incertitude \(u(U) = 0.2 V\). La distribution statistique est supposée être une distribution gaussienne. On va simuler \(N = 1000000\) tirages de \(U\) (comme si on réalisait par la pensée N fois l’expérience) en associant à U une distribution gaussienne d’espérance 3.4 et d’écart-type 0.2.

Observez ci-dessous l’histogramme des valeurs obtenues. On a aussi représenté la courbe de la distribution gaussienne théorique associée.

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Fig. 2 Simulation de valeurs de U#

Variabilité réelle d’une mesure

Ci-dessous, on analyse les résultats du mesurage du temps caractéristique d’un circuit RC ainsi que le calcul de la valeur mesurée et de l’incertitude-type grâce à cette distribution. On a réalisé 1000 mesures grâce à un microcontroleur.

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Fig. 3 Répartition des mesures#

La distribution des mesures a pour moyenne 2.286 ms et pour écart-type 0.010 ms.

Incertitude : pourquoi faire ?#

Quantifier la dispersion des résultats de mesure peut avoir plusieurs intérêts. Citons-en deux:

  • Quantifier la dispersion des mesures sur un échantillon permet de prévoir dans quelle gamme de valeur seront les composants fabriquées ensuite.

Exemple

  • Un fabriquant d’électronique produit des résistances dont la valeur doit être \(R\).

La mesure des résistances d’échantillons-test donnent la dispersion des valeurs sous forme d’une incertitude \(u(R)\). Il la fournit à ses clients qui pourront alors considérer que les résistances fabriquées par la suite (du moins 95 ou 99 %) auront une valeur de résistance \(R_f\) comprise entre \(R - k \times u(R)\) et \(R + k \times u(R)\) (k étant connu).

  • Dans le cadre des TPs, on pourra aussi chercher à mesurer la valeur d’un composant qu’on compte utiliser ensuite dans un montage. L’estimation de l’incertitude sur la valeur mesurée nous donnera l’intervalle dans laquelle on peut considérer que la valeur du composant se situe durant l’expérience.

  • Quantifier la dispersion des mesures qu’on obtient en répétant la manipulation (ou qu’on aurait obtenu en répétant la manipulation) permet d’avoir un intervalle de valeurs acceptables qu’on va comparer avec une valeur (ou un intervale de valeurs) théorique/précise attendue ou avec la relation théorique prévue. On peut ainsi vérifier la cohérence entre la théorie ou la valeur d’une grandeur théorique et l’expérience réalisée.

On remarquera qu’évaluer une incertitude répond à un but. Il n’est donc pas nécessaire de chercher systématiquement à l’estimer : il faut se demander si c’est nécessaire.

Exemple

  • On veut mesurer la constante des gaz parfaits.

On va trouver une gamme de valeurs dans laquelle on peut considérer que les résultats de mesure se trouveraient si on réalisait un grand nombre d’expérience par la même méthode. On pourra comparer ces résultats à la valeur attendue (incertaine mais souvent connue avec moins de variabilité que par notre expérience).

  • Dans le cas des TPs, les relations théoriques et les valeurs théoriques prévues sont toujours valables. Un désaccord signifie un problème au niveau de la manipulation(!) ou du choix du modèle, pas de la théorie !

Estimer une incertitude de mesure : Type A et B#

Il existe deux méthodes pour estimer une incertitude de mesure :

Important

  • Evaluation de Type A : évaluation d’une composante de l’incertitude par une analyse statistique des valeurs mesurées. On réalise plusieurs mesures dans les mêmes conditions expérimentales.

  • Evaluation de Type B : évaluation d’une composante de l’incertitude par d’autres moyens qu’une évaluation de type A. Pour nous, il s’agit d’estimer une incertitude alors qu’on a réalisé qu’une seule mesure.

Evaluation de type A#

Une évaluation de type A peut-être réalisée en répétant \(N\) fois la même expérience (manuellement ou automatiquement), soit en regroupant les mesures de plusieurs groupes de TPs.

Contrôle des mesures

Avant de se lancer dans une exploitation des données, il est important de vérifier qu’il n’y a pas de mesures aberrantes dans les échantillons. C’est notamment important lorsque les mesures sont automatiques ou qu’elles viennent d’autres groupes.

En général, la première analyse est graphique. On peut:

  • tracer un histogramme des mesures (utile quand il y a beaucoup de mesures).

  • tracer une carte de controle des mesures (résultat de mesurage avec incertitude en fonction du numéro de l’échantillon).

  • utiliser l’écart normalisé (cf. suite)

Important

Estimations
Il n’est pas nécessaire de connaître ces formules mais voici les méthodes de calculs du résultat de mesure et de l’incertitude que nous utiliserions (on suppose qu’on a réalisé \(k\) mesures \(\{g_i\}\) d’un mesurande \(G\)) :

  • Estimation de la valeur mesurée :

\[ G_{mes} = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k}g_i\]

  • Estimation de l’incertitude sur la valeur mesurée:

\[ u(G) = \sqrt{\frac{1}{k(k-1)} \sum_{i=1}^{k}(g_i - G_{mes})^2}\]

Evalution de type B#

L’évaluation de type A prend beaucoup de temps et nous devrons plus souvent évaluer une incertitude à partir d’une mesure unique. La méthode consiste alors à :

  1. faire un bilan des sources d’incertitudes qui provoquent la variabilité de la mesure.

  2. associer à chaque sources d’incertitude des éléments statistiques : forme de la distribution, largeur de la distribution, écart-type…

  3. combiner les sources d’incertitudes précédentes pour estimer l’incertitude totale sur le mesurande considéré.

Nous allons voir par la suite comment réaliser ces étapes qu’on appelle bilan d’incertitude