Une autre exploitation possible de résultats expérimentaux fréquentes consiste à la vérification d’une loi physique, c’est-à-dire d’une relation $Y=f(X)$ entre deux grandeurs physiques Y et X.

Vérifier une loi physique

Principe général

Note

Par la suite, on considère qu’on a mesurée plusieurs couples $(x_i,y_i)$ avec leurs incertitudes $u(X_i),u(Y_i)$. On dispose d’un modèle théorique de l’expérience qui prévoit une relation du type $Y=f(X)$ entre les deux grandeurs.

On ne vérifie pas une loi physique avec un seul couple $Y,X$. Cela n’a pas de sens.

Suivant la fonction $f$, il existe des méthodes plus ou moins complexes de validation. On se limitera à trois méthodes, qu’on utilisera généralement conjointement :

1. Méthode qualitative “à l’oeil” sans le modèle (uniquement pour une relation affine).

2. Méthode semi-quantitative “à l’oeil” avec le modèle

3. Méthode quantitative avec les résidus et les écarts normalisés.

Vérification qualitative.

Méthode

Avant de se lancer dans des méthodes numériques et calculs plus ou moins complexes, il est important de vérifier à l’oeil que l’ensemble des mesures semblent compatibles avec la loi proposée. MAIS, le seul lien mathématique appréciable à l’oeil entre deux grandeurs est la droite.

Important

Pour déterminer à l’oeil si deux grandeurs sont reliées entre elles, il faud nécessairement se ramener à une relation $Y^{\prime }=g(X^{\prime })$ où g est l’équation d’une droite. On peut alors représenter les points $(x_i,y_i)$ avec leurs croix d’incertitudes et décider s’il est possible à l’oeil de faire passer une droite par les croix d’incertitudes.

Si c’est le cas, on peut espérer avec une relation du type $Y^{\prime }=a{X}^{\prime }+b$ et procéder à une vérification plus précise, voire (cf. suite) à une détermination de $a$ et $b$ si on ne les connait pas.

Si ce n’est pas le cas, il faut soit revoir le modèle, soit revoir les mesures.

La vérification “à l’oeil” est surtout utile quand on ne connait pas tous les paramètres du modèle (la pente a par exemple) car on ne peut alors tracer un modèle et le comparer. En général, elle est suivie d’une méthode pour déterminer les paramètres inconnus.

Exemples

• On veut mesurer la résistance $R$ d’une résistance électrique en utilisant des valeur de $U$ et $I$. Mais avant de mesurer $R$, on veut vérifier que les couples $(i_k,u_k)$ vérifient bien la loi d’Ohm $U=RI$ (sinon, son utilisation est remise en question !). On a donc tracer les couples $(i_k,u_k)$ avec leur croix d’incertitude.
  Comme on ne peut tracer de droite modèle (on ne connait pas R, on le cherche !), on va simplement vérifier que les points semblent alignés, c’est-à-dire qu’on peut tracer une droite qui passe par toutes les croix d’incertitude.

• On veut déterminer l’indice de réfraction $n_v$ d’un verre. Pour cela on envoie un faisceau Laser dans l’air ($n_{air}=1,000$) à la rencontre du dioptre air-verre avec un angle $i_1$ qu’on mesure et on mesure l’angle de réfraction $i_2$ ainsi que les incertitudes sur les angles. On ne peut pas :

  • simplement tracer $i_2$ en fonction de $i_1$ et le comparer à un tracé modèle puisqu’on ne connait pas $n_v$

  • simplement tracer $i_2$ en fonction de $i_1$ et vérifier qualitativement si la relation entre les deux est respectées car la relation $n_{air}\sin i_1=n_v\sin i_2$ n’est pas représentée par une droite.

On va alors tracer $\sin i_2$ en fonction de $\sin i_2$. Le modèle théorique prévoit alors une droite qu’on pourrait cette fois appréciser à l’oeil.

Comparaison semi-quantitative.

Important

On va tracer le nuage de points avec les croix d’incertitude ET le modèle théorique (ou semi-théorique). Si le modèle passe par les croix d’incertitude, alors on peut considérer que les résultats expérimentaux sont compatibles avec le modèle théorique.

Le modèle de comparaison n’est pas toujours complètement théorique. On peut par exemple avoir déterminé expérimentalement certaines paramètres du modèle ($R$ et $n_v$ pour les exemples précédents) puis on tracer le modèle ainsi obtenus pour vérifier qu’il est effectivement compatible ave les résultats .

Ecarts normalisés.

Les écarts normalisés ont déjà été présentés précédemment. L’idée reste la même :

1. On calcule les écarts normalisés pour chaque ensemble $(y_{i,exp}(x_i),y_{i,th}(x_i),u(y_{i,exp}(x_i)),u(y_{i,th}(x_i))$.

2. On représente les écarts normalisés en fonction des $x_i$ et on repère les points dans l’écart normalisé est supérieur à 2 : ce sont les points problématiques qui peuvent remettre en cause la cohérence théorie-expérience.