4. Système d’équations et ordre 2

Le but est de voir comment utiliser la méthode d’intégration d’Euler explicite pour étudier le régime transitoire d’un système d’équations. On a alors un système d’équations différentielles. La théorie relative à la méthode d’intégration par Euler explicite ayant déjà été donnée, nous allons ici partir d’un exemple pour comprenre sa généralisation à des systèmes d’ordre supérieurs.

4.1. Système d’équations - Position du problème

On s’intéresse au système d’équations différentielle suivant :

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=-\frac{1}{\tau }v-\frac{2}{\tau }u\\ \frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=-\frac{1}{\tau }v-\frac{1}{\tau }u\end{array}\end{array}$$

4.1.1. Vision vectorielle

Le système d’équations différentielles précédent peut être vu comme une seule équation différentielle d’ordre 1 faisant un intervenir des vecteurs:

$$\begin{array}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{\tau }v-\frac{2}{\tau }u\\ -\frac{1}{\tau }v-\frac{1}{\tau }u\end{array}\right)\end{array}$$

soit, en définissant le vecteur:

$$\begin{array}{r}Y(t)=\left(\begin{array}{c}u(t)\\ v(t)\end{array}\right)\end{array}$$

Sa dérivée est:

(4.1)$$\frac{\mathrm{d}\mathrm{Y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=F(t,Y(t))$$

avec :

$$\begin{array}{r}F(t,Y(t))=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{\tau }v(t)-\frac{2}{\tau }u(t)\\ -\frac{1}{\tau }v(t)-\frac{1}{\tau }u(t)\end{array}\right)\end{array}$$

On rappelle que d’un point de vue vectoriel:

• u = Y[0] et v = Y[1].

• F prend comme argument un vecteur Y (de taille 2) et renvoie un vecteur de taille 2.

• On n’a techniquement pas besoin du temps puisque F ne dépend pas explicitement du temps mais on prendra l’habitude de le mettre comme argument même si on ne l’utilise pas (pour des fonctions comme solve_ivp).

4.1.2. Schéma d’Euler

Le principe du schéma d’Euler est alors identique au cas d’ordre 1 avec une seule fonction:

$$Y_{k+1}\approx Y_k+F(t_k,Y_k)\times h$$

avec $Y_k=Y(t_k)$ et $h=t_{k+1}-t_k$

Dans l’expression précédente, la somme correspond à la somme vectorielle (somme des coordonnées terme à terme $\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2}$) et la multiplication à la multiplication d’un vecteur par un scalaire ($\lambda \overrightarrow{w}$).

Il faudra juste veiller à ce que la fonction $F$ renvoie un vecteur numpy et que $y_0$ soit un vecteur numpy dans les programmes (de manière à faciliter la somme vectorielle et la multiplication par un scalaire - pas besoin de boucle). Les valeurs $u_k$ et $v_k$ calculées aux instant $t_k=t_0+hk$ sont alors stockées dans deux vecteurs numpy (on pourra les rassembler dans un seul tableau numpy à deux colonnes comme le fait odeint (ce que fera naturellement la fonction euler créée dans la partie précédente) ou à deux lignes comme le fait solve_ivp.

4.2. Système d’ordre 2

Lors qu’on doit résoudre un système d’ordre 2 du type:

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{t}}^2}=G(t,y(t),\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}(t))$$

on peut toujours le réécrire sous la forme d’un système d’équations différentielles d’ordre 1 où les deux fonctions inconnues sont:

$$\begin{array}{r}Y(t)=\left(\begin{array}{c}u(t)=y(t)\\ v(t)=\dot{y}(t)\end{array}\right)\end{array}$$

En effet, la dérivée de $Y$ est:

(4.2)$$\frac{\mathrm{d}\mathrm{Y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=\left(\begin{array}{c}\dot{y}(t)\\ \ddot{y}(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}v(t)\\ g(t,u(t),v(t))\end{array}\right)$$

On peut donc se ramener au cas précédent en posant:

$$\begin{array}{r}F(t,Y(t))=\left(\begin{array}{c}v(t)\\ g(t,u(t),v(t))\end{array}\right)\end{array}$$

La méthode permettant de résoudre un système d’équation permettra donc aussi de résoudre un système d’ordre 2 (et on obtient en prime la dérivée de la solution aux instants $t_k$).