5. Système d’équations et ordre 2#

Le but est de voir comment utiliser la méthode d’intégration d’Euler explicite pour étudier le régime transitoire d’un système d’équations. On a alors un système d’équations différentielles. La théorie relative à la méthode d’intégration par Euler explicite ayant déjà été donnée, nous allons ici partir d’un exemple pour comprenre sa généralisation à des systèmes d’ordre supérieurs.

5.1. Système d’équations - Position du problème#

On s’intéresse au système d’équations différentielle suivant :

\[\begin{split} \begin{cases} \frac{\rm{d}u}{\rm{dt}} = - \frac{1}{\tau} v - \frac{2}{\tau}u\\ \frac{\rm{d}v}{\rm{dt}} = - \frac{1}{\tau} v - \frac{1}{\tau}u \end{cases} \end{split}\]

5.1.1. Vision vectorielle#

Le système d’équations différentielles précédent peut être vu comme une seule équation différentielle d’ordre 1 faisant un intervenir des vecteurs:

\[\begin{split} {\rm{d} \over \rm{d}t} \begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - {1 \over \tau} v - {2 \over \tau} u\\ - {1 \over \tau} v - {1 \over \tau} u \end{pmatrix} \end{split}\]

soit, en définissant le vecteur:

\[\begin{split} Y(t)= \begin{pmatrix} u(t)\\ v(t) \end{pmatrix} \end{split}\]

Sa dérivée est:

(5.1)#\[\begin{equation} {\rm{d}Y \over \rm{d}t} = F(t, Y(t)) \end{equation}\]

avec :

\[\begin{split} F(t, Y(t)) = \begin{pmatrix} - {1 \over \tau} v(t) - {2 \over \tau} u(t)\\ - {1 \over \tau} v(t) - {1 \over \tau} u(t) \end{pmatrix} \end{split}\]

On rappelle que d’un point de vue vectoriel:

  • u = Y[0] et v = Y[1].

  • F prend comme argument un vecteur Y (de taille 2) et renvoie un vecteur de taille 2.

  • On n’a techniquement pas besoin du temps puisque F ne dépend pas explicitement du temps mais on prendra l’habitude de le mettre comme argument même si on ne l’utilise pas (pour des fonctions comme solve_ivp).

5.1.2. Schéma d’Euler#

Le principe du schéma d’Euler est alors identique au cas d’ordre 1 avec une seule fonction:

\[ Y_{k+1} \approx Y_k + F(t_k, Y_k) \times h \]

avec \(Y_{k} = Y(t_k)\) et \(h = t_{k+1} - t_k\)

Dans l’expression précédente, la somme correspond à la somme vectorielle (somme des coordonnées terme à terme \(\overrightarrow{w_1} + \overrightarrow{w_2}\)) et la multiplication à la multiplication d’un vecteur par un scalaire (\(\lambda \overrightarrow{w}\)).

Il faudra juste veiller à ce que la fonction \(F\) renvoie un vecteur numpy et que \(y_0\) soit un vecteur numpy dans les programmes (de manière à faciliter la somme vectorielle et la multiplication par un scalaire - pas besoin de boucle). Les valeurs \(u_k\) et \(v_k\) calculées aux instant \(t_k = t_0 + hk\) sont alors stockées dans deux vecteurs numpy (on pourra les rassembler dans un seul tableau numpy à deux colonnes comme le fait odeint (ce que fera naturellement la fonction euler créée dans la partie précédente) ou à deux lignes comme le fait solve_ivp.

5.2. Système d’ordre 2#

Lors qu’on doit résoudre un système d’ordre 2 du type:

\[ \frac{\rm{d^2}y}{\rm{dt^2}} = G(t, y(t), \frac{\rm{d}y}{\rm{dt}}(t)) \]

on peut toujours le réécrire sous la forme d’un système d’équations différentielles d’ordre 1 où les deux fonctions inconnues sont:

\[\begin{split} Y(t)= \begin{pmatrix} u(t) = y(t)\\ v(t) = \dot y(t) \end{pmatrix} \end{split}\]

En effet, la dérivée de \(Y\) est:

(5.2)#\[\begin{equation} {\rm{d}Y \over \rm{d}t} = \begin{pmatrix} \dot y(t)\\ \ddot y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v(t)\\ g(t, u(t), v(t)) \end{pmatrix} \end{equation}\]

On peut donc se ramener au cas précédent en posant:

\[\begin{split} F(t, Y(t)) = \begin{pmatrix} v(t)\\ g(t, u(t), v(t)) \end{pmatrix} \end{split}\]

La méthode permettant de résoudre un système d’équation permettra donc aussi de résoudre un système d’ordre 2 (et on obtient en prime la dérivée de la solution aux instants \(t_k\)).