2. Dérivation et intégration numérique

Les méthodes de dérivation et d’intégration numérique sont basées sur la définition même de ces concepts mais sans le passage à la limite.

2.1. Dérivation numérique.

2.1.1. Principe

Rappel : Soit une fonction $f$ définie et dérivable en $x_0$. Le nombre dérivée de $f$ en $x_0$ est:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

L’idée de la dérivation numérique est d’approcher le nombre de dérivée $f^{\prime }(x_0)$ par le calcul du taux de variation précédent pour un un $h$ non nul (on approxime donc géométriquement la tangente par la corde):

$$f^{\prime }(x_0)\approx \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

2.1.2. Types de calcul

On distingue trois façons de calcul un nombre dérivé:

Dérivée à droite

$$f^{\prime }(x_0)\approx \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Dérivée à gauche

$$f^{\prime }(x_0)\approx \frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}$$

Dérivée centrée

$$f^{\prime }(x_0)\approx \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}$$

Fig. 2.1 Note : La dérivée centrée est en général plus précise.

2.1.3. Cas étudiés et pas de calcul

En général, on estime la fonction dérivée sur un intervale $[a,b]$, soit une estimation du nombre dérivée pour plusieurs valeurs $x_i\in [a,b]$ avec un pas $h$. On distingue deux cas:

• La fonction $f$ est connue analytiquement mais on ne veut/peut pas faire le calcul analytique de la dérivée. On peut alors choisir les $x_i$ et choisir le pas de dérivation comme on veut.

Cas des valeurs discrètes

C’est le cas en général lorsque les $y_k$ sont issus d’une mesure expérimentale par exemple.

Note : Par manque d’information, le nombre dérivée en $x_0$ ne peut alors être calculé que par dérivation à droite et le nombre dérivée en $x_{N-1}$ (dernier échantillon) ne peut être calculé que par dérivation à gauche. Pour les autres, on a le choix.

• La fonction $f$ n’est pas connue. On a juste les valeurs $y_k=f(x_k)$ pour des abscisses $x_k$ (k entier dans $[0;N-1]$). On ne peut alors calculer la dérivée de $f$ qu’aux points $x_k$ et le pas d’intégration est nécessairement $h=x_{k+1}-x_k$ (à adapter pour la dérivée à gauche et centrée).

2.2. Intégration numérique

2.2.1. Principe

Rappel : L’intégrale d’une fonction $f$ sur l’intervalle $[a;b]$ est définie par:

$$I={\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=0}^{N-1}f(x_i)\times h$$

avec $x_i=a+\frac{b-a}{N}i$ et $h=\frac{b-a}{N}$

Relation de récurrence

Si l’on définit $I_k=\sum _{i=0}^{k}f(x_i)\times h$, on remarque la relation de récurrence:

$$I_{k+1}=I_k+f(x_{k+1})\times h$$

et $I\approx I_{N-1}$

C’est une méthode très pratique pour calculer I par une boucle.

L’idée de l’intégration numérique est donc d’approcher le calcul intégrale en prenant une valeur finie pour $N$, c’est-à-dire une valeur non nulle pour $h$ :

$$I\approx \sum _{i=0}^{N-1}f(x_i)\times h$$

2.2.2. Type d’intégration

On distingue quatre types d’intégration:

Méthode des rectangles à droite

On commence à $a$ et on s’arrête à $b-h$. L’aire d’un rectangle est:

$${\mathcal{A}}_{\mathcal{i}}=f(x_i)\times h$$

Méthode des rectangles à gauche

On commence à $a+h$ et on s’arrête à $b$. L’aire d’un rectangle est:

$${\mathcal{A}}_{\mathcal{i}}=f(x_i+h)\times h$$

Méthode des rectangles centrés

On commence à $a+h/2$ et on s’arrête à $b-h/2$. L’aire d’un rectangle est:

$${\mathcal{A}}_{\mathcal{i}}=f(x_i+h/2)\times h$$

On peut aussi sauter une valeur sur deux comme sur la figure.

Méthode des trapèzes

L’aire d’un trapèze est:

$$\mathcal{A}=\frac{f(x_i+h)+f(x_i)}{2}h$$

2.2.3. Cas étudiés et pas de calcul

Comme pour la dérivation, on distingue deux cas:

• La fonction $f$ est connue analytiquement mais on ne veut/peut pas faire le calcul analytique de l’intégrale. On peut alors choisir les $x_i$ et choisir le pas d’intégration comme on veut (ou choisir N).

Cas discret

Il est possible que le pas $h=x_{i+1}-x_i$ varie dans le cas de mesures. Ce n’est pas un problème.

• La fonction $f$ n’est pas connue. On a juste les valeurs $y_k=f(x_k)$ pour des abscisses $x_k$ (k entier dans $[0;N-1]$). Le pas $h$ est alors imposée par les $x_{i+1}-x_i$. On peut néanmoins toujours la méthode d’intégration.

Dans les deux cas, la méthode par récurrence est conseillée. D’autant qu’elle permet de calculer l’intégrale sur plusieurs intervalles $[x_0,x_k]$ ($k\in [0,N-1]$). La suite $I_k$ ainsi obtenue donc une primitive (qui s’annule en $x_0$) de la fonction $f$ sur l’intervalle étudiée.