Activité : Etudier une modulation en amplitude.#

La correction est en ligne et une simulation permet de jouer sur les paramètres d’une modulation est disponible ici.

Nous allons étudier le principe de décomposition sur un cas simple où un signal se décompose en une somme finie de composantes spectrales.

La méthode de linéarisation des produits de sinusoïdes, basées sur les relations usuelles en trigonométrie est à maîtriser impérativement. La méthode de tracé du signal est aussi très important.

Exercice

On considère deux signaux sinusoïdaux u1(t) et u2(t) de fréquence f1 et f2 d’amplitude u1m et u2m de phase à l’origine nulle tous les deux. On multiplie les deux signaux uS(t)=ku1(t)×u2(t) avec k une constante connue.

  • Donner les expressions de u1(t) et u2(t) puis de uS(t)

  • On prend f1=10f2 et u2m=2u1m, représenter graphiquement uS. Justifier le terme de modulation en amplitude. Où ce principe est utilisé?

  • Montrer que le signal se décompose comme la somme de deux composantes spectrales dont on déterminera la fréquence et l’amplitude.

  • Représenter le spectre du signal uS.

Correction

1. Les deux signaux entrant s’écrivent : u1(t)=u1mcos(2πf1t) et u2(t)=u2mcos(2πf2t)

Il vient pour le signal de sortie : uS(t)=ku1mu2mcos(2πf1t)cos(2πf2t)

2.

Le tracé d’une telle fonction ne doit pas nécessiter une calculatrice et doit faire apparaître des caractéristiques précises :

  • On commence par tracer l’enveloppe (trait discontinu) qui correspond à l’amplitude variable ku1mu2mcos(2πf2t) et son opposé (la fonction uS(t) atteindra ces enveloppes quand cos(2πf1t) sera égale à 1 et -1. Cela dessine les valeurs maximales accessibles, d’où le nom d’enveloppe. Il faut repérer les valeurs maximales et minimales de l’enveloppe, ici ku1mu2m et ku1mu2m

  • On trace alors la fonction comme un sinusoïde contenu dans l’enveloppe. Il faut faire attention au nombre de sinusoïde dans une période (il doit ici y en avoir 10 car f1=10f2)

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Fig. 14 Modulation d’amplitude#

3. Pour obtenir le spectre lorsque le signal est un produit de sinusoïde, il faut procéder par linéarisation.

uS(t)=ku1mu2m2(cos(2π(f1+f2)t)+cos(2π(f1f2)t))

Le spectre est donc composée de deux composantes de fréquences f1+f2=11f2 et f1f2=9f2. Elles ont toutes les deux une amplitude ku1mu2m2.

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Fig. 15 Spectre du signal modulé#

Important

A retenir

Il faut savoir :

  • reconnaître un cas de modulation d’amplitude : un produit de sinusoïdes dont la fréquence de l’un est grande devant la fréquence de l’autre.

    • On peut écrire uS(t) sous la forme : [ku1mu2mcos(2πf2t)]cos(2πf1t). Puisque f2 est faible, on peut considérer que sur une période du signal rapide de fréquence f1, la grandeur ku1mu2mcos(2πf2t) est quasi-constante et représente donc sur une période, l’amplitude du sinusoïde cos(2πf1t). Mais comme d’une période à l’autre l’amplitude varie, on parle de modulation d’amplitude.

  • Le signal lent de fréquence f2 est appelé signal modulant et le signal rapide est appelé signal porteur. Le signal sortant est appelé signal modulé.

  • réaliser un tracé correct d’un signal modulé en amplitude en tenant du rapport de fréquences

  • Linéariser le produit pour obtenir le spectre du signal.