Applications#

Contrairement aux exercices du cours qui détaillent les raisonnements pour expliquer les méthodes, seules les réponses finales sont données ici. Il faut s’entraîner à résoudre soi-même tous les exercices proposés ici AVANT DE REGARDER LES RÉPONSES.

Modulation d’amplitude#

Exercice

On considère un signal \(u_1\) sinusoïdal de période \(T_1\) et d’amplitude \(u_{1m}\) et un signal \(u_2\) sinusoïdal de période \(T_2 = T_1 / 10\) et amplitude \(u_{2m} = u_{1m}\). On crée à partir de ces deux signaux un troisième signal de la forme : \(u_S = u_2 \times ( 1 + m u_1 )\).

  1. Donner les expressions temporelles des signaux \(u_1\) et \(u_2\) en fonction de \(T_1, u_{1m}\) et du temps.

  2. Justifier que \(u_S\) peut être vu comme un signal modulé en amplitude et représenter graphiquement l’allure temporelle de \(u_S\).

  3. Déterminer le spectre de \(u_S\).

Eléments de correction

1.

(3)#\[\begin{align} u_1(t) = u_{1m} \cos \left ( \frac{2\pi}{T_1} t \right )\\ u_2(t) = u_{1m} \cos \left ( \frac{20\pi}{T_1} t \right ) \end{align}\]

2.

../_images/exo_temporelle_module.png

3.

../_images/exo_freq_module.png

Tracé de spectres#

Exercice

../_images/exo_dent_scie_tempo.jpg

Fig. 16 Signal dent de scie#

On considère le signal ``dent de scie’’ dont le tracé temporel est donné ci-contre. On donne aussi sa décomposition en série de Fourier :

\[ u(t) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2V_m}{\pi} \frac{(-1)^n}{n} \sin n \omega t \]

  1. Relier \(\omega\) et T. Le justifier.

  2. Représenter le spectre de Fourier du signal.

  3. Que vaut la valeur moyenne du signal ?

Eléments de correction

1. \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) attention à bien le justifier.

2.

../_images/exo_freq_scie.png

3. Valeur moyenne nulle.

Exercice

../_images/exo_redressement_tempo.jpg

Fig. 17 Signal redressé#

On considère le signal ``redressé simple alternance’’ dont le tracé temporel est donné ci-contre. On donne aussi sa décomposition en série de Fourier :

\[ u(t) = \frac{V_m}{\pi} + \frac{V_m}{2} \cos \omega t + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2V_m}{\pi} \frac{1}{4n^2 - 1} \sin 2 n \omega t \]

  1. Relier \(\omega\) et T. Le justifier.

  2. Représenter le spectre de Fourier du signal.

  3. Que vaut la valeur moyenne du signal ?

Eléments de correction

1. \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) attention à bien le justifier.

2.

../_images/exo_freq_redress.png

3. Valeur moyenne \(\frac{V_m}{\pi}\).

Des exercices d’approfondissement qui pour être utiles pour la suite du cours sont disponibles en ligne.