Décomposition spectrale d’un signal physique
Contents
Décomposition spectrale d’un signal physique#
Principe de la décomposition spectrale#
Important
Principe général
Le principe de la décomposition spectrale est de décomposer un signal
Une fois un signal décomposé en somme de sinusoïde (on parle de composantes spectrales), on obtient plusieurs gammes de fréquences associées à chaque composante spectrale qui vont donner des informations sur le type de signal étudié.
Exemples de décomposition spectrale
Cas fini On peut décomposer un signal en une somme finie de signaux sinusoïdaux. Le signal
peut s’écrire comme la somme :
Cas infini discret
On peut décomposer un signal en une somme infinie discrète de signaux sinusoïdaux. Le signal définie sur
et reproduit à l’infini (signal créneau) peut s’écrire comme la somme :
Complément - Cas infini continu On peut décomposer un signal en une somme infinie continue de signaux sinusoïdaux, c’est-à-dire que la somme s’effectue sur toutes les valeurs de fréquences appartenant à
. Une telle somme est plus délicate à écrire avec les connaissances actuelles car cela nécessite l’utilisation d’intégrale et des nombres complexes.
Néanmoins, à titre d’exemple, la fonction
Spectre d’une fonction#
Important
Spectre d’un signal
Pour une fonction s(t) à spectre discret, on appelle spectre de s, l’ensemble des couples
On représente le spectre d’une fonction s(t) en représentant chaque coefficient
L’indice s est marqué ici pour bien montrer que les fréquences et les amplitudes dépendent du signal s considéré.
Cas de la fonction sinus cube

Fig. 5 Spectre du sinus cube#
Le spectre de la fonction
Remarques
On pourrait écrire plus simplement
On tient pas compte du signe (-) car l’amplitude est toujours définie comme positive. Le signe modifie la phase à l’origine (de
) mais celà n’apparaît pas dans le spectre.
Cas de la fonction créneau

Fig. 6 Spectre d’un créneau#
Le spectre de la fonction créneau
On peut tracer le spectre en remarquant qu’il s’agit de tracer la fonction
en fonction de la fréquence
Important
Valeur moyenne
Sur une représentation spectrale, la valeur moyenne se lit à la fréquence 0.
Décomposition des signaux périodiques : Série de Fourier#
Important
Décomposition en série de Fourier
Tout signal périodique s(t) de période T se décompose en une somme infinie (série) de cosinus et de sinus de périodes T/n où n est un entier. On appelle la série correspondante: série de Fourier.
Ou, comme on l’écrira souvent pour pouvoir représenter le spectre :
Les coefficients
Dans le cas d’un signal périodique, ces composantes sont appelées des harmoniques. La composante spectrale de même période que le signal (elle existe forcément) est appelée fondamental.
On reconnaîtra que
Exemple : Spectre du signal triangle
Outre le cas du signal créneau, on peut aussi citer le cas du signal triangle
On remarquera et c’est important de le retenir que les harmoniques du signal créneau ont une amplitude qui décroît en
Simulation
Vous pourrez trouver ici une simulation réalisée en Geogebra permettant de construction une fonction périodique par sommation de ses composantes de Fourier.