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3.6. Réponse à une rampe de tension.

3.6.1. Fonctions utiles

Pour l’intégration des équations différentielles, on utilisera directement solve_ivp.

3.6.2. Rampe de tension

On étudie un circuit RC série soumis à une tension $rampe(t)$ :

$$\begin{array}{r}rampe(t)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si t <= 0}\\ t/T0& \text{si 0 < t <= T0}\\ 1& \text{si t > T0}\end{array}\end{array}$$

On prendra $R=1\mathrm{k}\mathrm{\Omega };\mathrm{C}=1\mu \mathrm{F};\mathrm{T}0=\mathrm{n}\times \tau ;\mathrm{u}(\mathrm{t}=0)=0\mathrm{V}$.

Rappels :

• L’énergie stockée dans un condensateur est $E_{el}=\frac{1}{2}C{u}_c^2$

• La puissance dissipée par effet Joule est $P_J(t)=R{i}^2(t)$

Exercice 6

1. Ecrire une fonction rampe(t) qui renvoie la valeur de $rampe(t)$ pour un instant donné puis l’utiliser pour créer la fonction f_rampe(t,u) du schéma d’Euler.

2. Procéder à l’intégration de l’équation différentielle pour $n=2$ en choisissant un pas de calcul adapté.

3. En déduire l’intensité circulant dans le condensateur, l’énergie stockée dans le condensateur (aux mêmes instants $t_k$), l’énergie dissipée par la résistance et l’énergie fournie par la source (entre t=0 et $t=t_k$).

4. Représenter quatre graphiques dans une même fenêtre (2 lignes, 2 colonnes) représentant :

   • premier graphique : les tensions $rampe(t)$ et $u(t)$

   • deuxième graphique : l’intensité $i(t)$

   • troisième graphique ; le portrait de phase (ensemble des points de coordonnées ($u(t);\frac{du}{dt}(t)$))

   • quatrième graphique ; l’évolution de l’énergie stockée dans le condensateur, celle délivrée par la source et celle dissipée par la résistance

5. Analyser physiquement les courbes obtenues.

6. Reprendre l’étude en augmentant $n$. On commentera notamment l’énergie dissipée par effet Joule.

7. Quantifier l’évolution du rendement $\eta =\frac{E_{stockee}(+\mathrm{\infty })}{E_{fournie}(+\mathrm{\infty })}$ par rapport à $n$ par un tracé graphique adapté. On réfléchira à comment estimer $\eta$ pour chaque valeur de $n$.

Pour étudier le rendement sur plusieurs décades entre $n=0.01$ et $n=1000$. Deux syntaxes utiles :

• np.logspace(start, stop, N) fonctionne comme linspace mais les points sont créés régulièrement sur un axe logarithmique entre ${10}^{start}$ et ${10}^{stop}$.

• ax.set_xscale('log') permet de représenter les abscisses suivant une échelle logarithmique.