1.1. Comprendre le contexte

1.1.1. Définition générale

• Une onde transporte de l’énergie sans transporter de matière.

Important

Onde

Une onde est la propagation d’une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales du milieu.

• Elle se déplace avec une vitesse déterminée qui dépend des caractéristiques du milieu de propagation. On appelle cette vitesse la célérité de l’onde dans le milieu.

Exemple : Description et types d’ondes

On décrit la propagation d’une onde par l’expression des grandeurs physiques associées au phénomènes dans l’espace et dans le temps . Les grandeurs dépendent du type d’onde que l’on veut décrire. A titre d’exemple non exhaustif:

• La corde vibrante (ondes mécaniques) : Déformation de la corde \(z(M,t)\)

• A la surface de l’eau: Altitude de la surface \(z(M,t)\)

• Ondes électriques: Intensité et Tension

• Ondes acoustiques: vitesse de l’air \(v(M,t)\) et surpression de l’air \(p(M,t)\)

• Ondes électromagnétiques: Champ électrique et champ magnétique

On remarque que ces grandeurs dépendent du temps ET de l’espace car l’onde se propage dans… l’espace. Certaines peuvent être vectorielles (vitesses, champ électrique… ).

1.1.2. Modélisation mathématique de la propagation d’ondes

1.1.2.1. Onde progressive

Mise en situation : Supposons une onde se propageant avec une célérité v. Elle est caractérisée par une grandeur y dont on note l’expression en un point M à un instant t \(y(M,t)\)

Important

Forme mathématique d’une onde (1) L’expression de y au point B et notée \(y(B,t)\) est la même que l’expression de y au point A mais retardée du temps \(\Delta t_{{AB}}\) correspondant au retard à la propagation entre A et B:

\[ y(B,t) = y(A, t - \Delta t_{{AB}}) \]

On fera le lien avec le décalage horizontal graphique du tracé d’une fonction.

Démonstration

Considérons le passage de l’onde au point A au temps \(t_A\). L’onde va mettre un temps \(\Delta t_{AB}\).

Au temps \(t_B\), l’onde a en B la valeur \(y(B,t_B)\) qu’elle avait au point A au temps \(t' = t_B - \Delta t_{AB}\), soit:

\[ y(B,t_B) = y(A,t')=y(A, t_B - \Delta t_{AB}) \]

• On se ramène donc à décrire l’onde avec une seule fonction \(g\) décrite par la source.

• Attention: Cette expression n’est valable que pour un milieu homogène et une propagation rectiligne.

Cas particuliers utiles (à connaître)

Propagation rectiligne dans un milieu homogène.

• Si la propagation est rectiligne, on peut choisir un repère où l’axe Ox est suivant la direction de propagation.

  • On peut choisir un point d’abscisse de référence, souvent le point source, \(x=0\) où l’onde émise à pour expression \(y(x=0,t) = g(t)\).

• Si l’onde de propage suivant les x positifs, le temps mis pour atteindre un point M d’abscisse \(x\) est \(\frac{x}{v}\) et la forme mathématique devient:

\[ y(x,t) = g(t - \frac{x}{v}) \]

• Si l’onde de propage suivant les x négatifs (on parle d’onde régressive), le temps mis pour atteindre un point M d’abscisse \(x\) est \(-\frac{x}{v}\) (on passe en M avant O si \(x>0\)) et la forme mathématique devient:

\[ y(x,t) = g(t + \frac{x}{v}) \]

• On ne traite que le cas de la propagation rectiligne dans un milieu homogène.

• On peut voir la fonction \(y(x,t_1)\) comme une photographique de l’onde à l’instant \(t_1\).

Origine des temps

Si l’on considère l’instant \(t=0\) comme référence des temps et la forme de l’onde \(h(t) = y(x,t=0)\), alors la forme de l’onde à un instant \(t\) sera:

\[ y(x,t) = h(x - v t) \]

Important

Forme mathématique d’une onde (2)

Propagation rectiligne dans un milieu homogène.

Considérons la forme de l’onde \(y(x,t_1)\) à un instant \(t_1\) en tout point \(x\) de l’axe. La forme spatiale de l’onde à un instant \(t_2\) est noté \(y(x,t_2)\).

• Si l’onde se propage suivant les \(x\) positifs, alors:

\[ y(x,t_2) = y(x - v (t_2 - t_1), t_1) \]

• Si l’onde se propage suivant les \(x\) négatifs, alors:

\[ y(x,t_2) = y(x + v (t_2 - t_1), t_1) \]

Démonstration

On raisonne cette fois sur la forme spatiale à un instant t mais le raisonnement est le même, l’expression de \(y(x,t_2)\) en un point B de coordonnées x à l’instant \(t_2\) sera celle de \(y(x_A,t_1)\) en un point A à l’instant \(t_1\) tel que l’écart \(x - x_A\) soit égal à la distance parcourue par l’onde en un temps \(t_2 - t_1\) soit \(x_A = x - v(t_2 - t_1)\)

1.1.2.2. Onde progressive harmonique

L’intérêt des ondes harmonique est à rapprocher de l’intérêt du RSF.

Important

Ondes progressive harmonique (OPH) Une onde sinusoïdale est une onde dont la forme est un sinusoïde \(g(t) = g_m \cos(\omega t)\). Si elle est émise d’un point S, l’amplitude en un point M sera:

\[ y(M,t) = y(S,t - \Delta t) = g_m \cos \left(\omega (t - \Delta t)\right) \]

Relation temps-espace

Pour une onde sinusoïdale de célérité \(c\) et de fréquence f.
On a les relation: \(\lambda f = v_{onde}\) et \(\frac{\omega}{k} = v_{onde}\).

Important

Cas rectiligne et homogène

• Une onde progressive sur un axe Ox suivant les x croissants aura pour amplitude:

\[ y(x,t) = g_m \cos(\omega t - \omega \frac{x}{v}) = g_m \cos(\omega t - kx) \]

• De même pour une onde progressant suivant les x négatifs:

\[ y(x,t) = g_m \cos(\omega t + \omega \frac{x}{v}) = g_m \cos(\omega t + kx) \]

• Pulsation/Fréquence/Période temporelle: \(\omega; f= \frac{\omega}{2 \pi}; T = \frac{2 \pi}{\omega}\)

• La longueur d’onde (ou période spatiale) \(\lambda\) est la distance minimale qui sépare deux positions où la perturbation est la même à chaque instant.

• Le nombre d’onde est définie par \(k = \frac{2 \pi}{\lambda}\)

Représentation complexe

Lorsqu’on étudie des signaux sinusoïdaux, il peut être intéressant d’utiliser un artifice mathématique pour simplifier l’étude: on utilise la représentation complexe des signaux sinusoïdaux comme on apu le faire pour des signaux sinusoïdaux en régime sinusoïdal forcé.

1.1.3. Exemples d’ondes (en ligne)

1.1.3.1. Corde vibrante. Onde mécanique

Description

Une corde vibrante est une corde de masse linéique \(\mu_0\) tendue par une tension \(\overrightarrow{T_0}\) de norme \(T_0\) (les deux extrémités peuvent se mouvoir). On la suppose parfaitement horizontal au repos, ce qui revient à négliger la pesanteur. Chaque point de la corde peut vibrer dans le plan vertical. L’axe Ox est l’axe horizontal, les axes Oy et Oz sont les axes du plan de vibration. Pour simplifier, on supposera que la corde ne peut vibrer que dans la direction Oy (ce qui signifie que l’excitation n’est que dans le plan Oy).

Description physique

• Système considéré: Pour décrire le mouvement de la corde, on considère un petit morceau de corde autour d’un point M de la corde repéré par son abscisse x.

• Grandeur considérée: On peut décrire l’état de la corde en décrivant l’état d’un point M plusieurs grandeurs par:

  • sa position transversale: \(y(x,t)\)

  • sa vitesse de déplacement transversale: \(v_y(x,t)\)

  • la tension de la corde en tout point: \(\overrightarrow{T(x,t)}\) (ici la force exercée par la partie à gauche de x sur la partie à droite de x).

• Célérité des ondes mécanique On peut montrer que (sous hypothèse) \(v_{onde}=\sqrt{\frac{T_0}{\mu_0}}\)

1.1.3.2. Ondes acoustiques

Description

Une onde sonore est la propagation dans un milieu matériel (par exemple l’air) d’une surpression provoquant sur son passage une agitation locale du milieu. Considérons une tube dans lequel se trouve de l’air (on pourra par exemple assimiler cela à un instrument à vent). Un surpression causée en entrée va «pousser» une tranche de fluide (l’air), qui en s’agitant va induire une surpression sur la tranche de fluide suivant qui se met à son tour en mouvement et ainsi de suite: il se propage un son. Ce son arrive jusqu’à nos oreilles où jusqu’à un micro. La surpression qui s’est propagée fait alors vibrer une membrane (tympan ou capteur de pression).

Description physique

• Système étudié: On étudie le mouvement d’une tranche de fluide d’épaisseur dx autour d’une position x.

• Grandeur considéré (dans le cas d’un fluide):

  • la surpression engendrée: \(p(x,t)\). La pression au point M est: \(P(x,t)=P_O+p(x,t)\) où \(P_0\) est la pression du milieu au repos.

  • la vitesse de la portion de fluide: \(v(x,t)\) (pas de grandeur à ajouter car au repos, cette portion de fluide ne bouge évidemment pas).

  • la variation de masse volumique du fluide: \(\Delta \mu(x,)t\). \(\mu(x,t) = \mu_0 + \Delta \mu(x,t)\) (\(\mu_0\) est la masse volumique du fluide au repos).

• Intensité acoustique : On définit l’intensité acoustique instantanée \(I(x,t)\) d’une onde sonore comme la puissance transportée par l’onde dans une direction donnée par unité de surface.

  • On peut montrer que l’intensité acoustique instantanée dans la direction de propagation du son est \(I(x,t)=p(x,t)v(x,t)\).

  • L’intensité acoustique est la valeur moyenne de l’intensité acoustique instantanée.

  • Le niveau d’intensité sonore est définit par \(L = 10 \log(I/I_0)\) exprimé en dB où \(I_0 = 10^{-12} \rm{SI}\) Ces formules ne sont pas à connaître mais on retiendra qu’une onde transporte une puissance .

1.1.3.3. Ondes à la surface d’un fluide

Description

La surface d’un fluide (l’eau), peut être excitée par exemple par le vent, donnant naissance à la houle. Ce phénomène correspond à la propagation d’une onde à la surface du fluide. En effet, il se produit alors une montée d’eau en une position. La conservation de la masse et la variation de pression dans la colonne d’eau induit alors une variation de hauteur d’eau dans la colonne d’eau suivante et ainsi de suite se propage une onde de surface. Nous signalons simplement l’existence de ces ondes car elles sont courantes autour de nous et qu’elles seront étudiée de manière descriptive en TP.

Grandeurs observées: En un point du passage de l’onde, on peut définir la hauteur de la surface du fluide à un instant t: \(z(x,t)\). Il existe d’autres grandeurs décrivant le passage de l’onde mais nous nous limitons ici à cette grandeur qui suffit à décrire l’onde à chaque instant.

1.1.3.4. Ondes électriques

Description

Quand en un point du circuit, on modifie le potentiel ou l’intensité (exemple: on allume le circuit), la variation locale d’intensité/de potentiel va se propager de proche en proche tout au long du circuit: une onde électrique se propage dans le circuit.

Description physique

• Le système étudié est une portion de circuit et sa modélisation électrique (cf. deuxième année). Les grandeurs utilisées sont bien entendu le potentiel électrique et l’intensité.

• ARQS : On rappelle que la célérité des ondes électriques est de l’ordre de la célérité de la lumière dans le vide de sorte que pour des signaux “lents” sur des circuits “courts”, on peut négliger les phénomènes de propagation, c’est-à-dire les considérer comme instantanés.

1.1.3.5. Ondes électromagnétiques

Description

Dans une approche classique de la lumière, celle-ci est une onde électromagnétique. La propagation d’une onde électromagnétique correspond à la propagation d’une variation des champs électriques \(\overrightarrow{E}(M,t)\) et magnétique \(\overrightarrow{B}(M,t)\) en tout point du trajet de l’onde. Les variations spatiales et temporelles des ces deux grandeurs sont corrélées par des équations (les équations de Maxwell). Ces relations permettent de propager ces variations de proche en proche: une onde électromagnétique se propage.

Description physique

• Le système étudié est une portion d’espace. Comme précisé précédemment, les grandeurs qui décrivent l’onde seront le champ électrique et magnétique en chaque point. On remarque qu’il s’agit de champs vectoriels . L’orientation du champ électrique est notamment extrêmement importante.

• Dans le vide, les ondes électromagnétiques se propage à la vitesse \(c=299792458 \rm{m.s^{-1}}\).

• Considérations énergétiques : Energie propagée: L’étude de l’énergie propagée par une onde électromagnétique est un peu complexe. On peut retenir que:

  • On traite en général l’éclairement énergétique I qui correspond à l’énergie transportée par le rayonnement électromagnétique par unité de surface (on pourra faire le parallèle avec les cas précédents).

  • La sensation de luminosité perçue par notre oeil est en rapport avec l’éclairement.

  • Pour une onde monochromatique progressive, l’éclairement est proportionnel au carré du module du champ électrique \(I \approx \frac{cn \epsilon}{2} \vert E^2 \vert\). Le coefficient de proportionnalité n’est pas à connaître. Un rapide calcul montre que les fréquences associées au rayonnement visible sont de l’ordre de \(10^{14}\rm{Hz}\). Cela montre que notre oeil n’est pas sensible à l’éclairement instantanée mais à la valeur moyenne de l’éclairement. C’est pourquoi, on définit directement l’éclairement énergétique comme une grandeur proportionnelle à la valeur moyenne du champ électrique au carré. \(I \propto \langle E^2 \rangle\)

1.1.4. Front d’onde et diffraction

1.1.4.1. Source lumineuse

Important

Point source lumineux

• Un point source lumineux est un point émettant une onde lumineuse dans une ou plusieurs direction. On lui associe en général un cône d’émission (qui peut-être toute la sphère) ainsi qu’un spectre d’émission.

• Un point source monochromatique est un point source émettant une lumière monochromatique.

1.1.4.2. Front d’onde

Important

Surface d’onde Une surface d’onde (où front d’onde) est l’ensemble des points possédant la même phase (le même retard sur la source de l’onde).

Sur le graphique précédent, on a représenté en traits pleins les surfaces d’ondes et en pointillés les “rayons” de l’onde correspond à la direction de propagation.

Important

Théorème de Malus (Admis) Lorsque le phénomène de diffraction peut-être négligé (cf. suite), le trajet d’une onde matérialisée par le trajet de l’énergie suivant des “rayons” est perpendiculaire au surface d’onde (cf. la figure précédente).

Important

Types d’ondes

• Cas d’une onde plane: l’amplitude ne dépend pas de la position transverse à la propagation. On étudie souvent ce type d’onde car elle est simple mais les ondes créées en général sont plutôt circulaires ou sphériques (et encore… ).

• Cas d’une ondes circulaire: (on pourra généraliser l’idée à une onde sphérique à 3 dimensions) Il s’agit d’une représentation assez usuelle pour une source ponctuelle (point lumineux, source sonore… ).